Dérivation

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STMG | Thème(s) : Dérivation

Deuxième exercice de type Bac – Prix d’équilibre

12934_Math_24_stdi

Une étude de marché s’intéresse à l’évolution de l’offre et de la demande d’un certain produit en fonction du prix unitaire x, exprimé en euros.

Pour un prix unitaire de x euros, compris entre 2 et 30 le nombre de produits demandés est modélisé par :

f(x) = 0,05x2 – 4x + 80,8.

et le nombre de produits offerts est modélisé par : g(x) = 2x + 16.

Les courbes 𝒞f et 𝒞g, tracées sur le graphique ci-contre représentent respectivement les fonctions f et g.

1. Déterminer graphiquement le nombre de produits offerts et le nombre de produits demandés lorsque le prix du produit est de 18 €.

Vous ferez apparaître sur le graphique les tracés utiles.

2. a. Calculer la dérivée f' de la fonction f.

b. Étudier le signe de f' et en déduire les variations de f sur l’intervalle [2, 30].

c. Donner une interprétation économique des variations de f.

3. On appelle prix d’équilibre d’un produit, le prix pour lequel l’offre et la demande sont égales.

a. Déterminer graphiquement le prix d’équilibre de ce produit.

b. On se place au prix d’équilibre, quel est alors le nombre de produits demandés (et donc aussi offerts) et le chiffre d’affaires réalisé ?

Corrigé

12934_Math_25_stdi

1. On lit que l’ordonnée du point 𝒞f d’abscisse 18 est voisine de 25.

Lorsque le prix du produit est 18, la demande est de 25.

On lit que l’ordonnée du point de 𝒞g d’abscisse 18 est voisine de 52.

Lorsque le prix du produit est 18, l’offre est de 52.

On utilise les formules ,, , .

2. a. Pour tout x de [2, 30], f'(x) = 0,05(2x) – 4 ;

f'(x) = 0,1x – 4.

b. Pour étudier le signe de f'(x) sur [2, 30], résolvons l’inéquation f'(x) ≥ 0.

f'(x) ≥ 0 est équivalente à : 0,1x – 4 ≥ 0 ; 0,1x ≥ 4 ; x40,1 ; x ≥ 40.

f'(x) ≥ 0 si x ≥ 40.

Donc, f'(x) < 0 si x < 40. Sur [2, 30], x ≤ 30, donc f'(x) < 0.

f est décroissante sur [2, 30].

c. f est décroissante sur [2, 30] : le nombre de produits demandés diminue lorsque le prix augmente.

3. a. 𝒞f et 𝒞g se coupent au point d’abscisse 12.

Le prix d’équilibre est 12 euros.

b. L’ordonnée du point d’abscisse 12 est 40.

Le nombre de produits demandés est 40.

Le chiffre d’affaire correspondant au prix d’équilibre est : 40 × 12 = 480 euros.