Dérivation

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STMG | Thème(s) : Dérivation

Troisième exercice de type Bac – Avec le tableur

A. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0, 10] par :

f(x) = – 0,4x2 + 4x – 8.

1. a. Calculer f'(x) où f' désigne la dérivée de la fonction f.

b. Étudier le signe de f'(x) pour tout nombre réel x de l’intervalle [0, 10].

c. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0, 10].

d. Quel est le maximum de la fonction f sur l’intervalle [0, 10] ?

2. La feuille de calcul ci-dessous, extraite d’un tableur, donne les images par la fonction f de quelques valeurs de l’intervalle [0, 10].

PB_9782216129348_T_STMG_08_Maths_Tab_18

Quelle formule, destinée à être recopiée vers le bas, faut-il écrire en B2 pour compléter la colonne B ?

B. Une petite entreprise fabrique des chaudières à bois pour les petits immeubles. Pour des raisons de stockage, la production mensuelle q est comprise entre 0 et 10 unités.

Le coût total de fabrication mensuel, exprimé en milliers d’euros, est donné par la fonction C définie sur [0, 10] par :

C(q) = 0,4q2 + 1,5q + 8.

Chaque chaudière est vendue 5,5 milliers d’euros.

1. Calculer la recette puis le bénéfice correspondant à 3 chaudières.

2. Montrer que le bénéfice mensuel B(q), exprimé en milliers d’euros, est défini sur [0, 10] par B(q) = – 0,4q2 + 4q – 8.

3. En utilisant la partie A. :

a. Déterminer pour quelles productions le bénéfice est positif.

b. Déterminer le nombre de chaudières à fabriquer et à vendre mensuellement pour que le bénéfice soit maximal.

c. Quel est alors ce bénéfice maximal ?

Corrigé

A. 1. a. f'(x) = – 0,4(2x) + 4 = – 0,8x + 4.

b. f'(x) ≥ 0 si et seulement si : – 0,8x + 4 ≥ 0 ; 4 ≥ 0,8x ; x40,8=5.

f'(x) < 0 si et seulement si : x > 5.

D’où le signe de f'(x) :

PB_9782216129348_T_STMG_08_Maths_Tab_17

c. D’où le tableau de variation :

PB_9782216129348_T_STMG_08_Maths_Tab_16

d. f est maximale pour x = 5.

2. = – 0,4*A2^2+4*A2–0,8.

B. 1. Pour 3 chaudières vendues, la recette est 3 × 5,5 = 16,5.

Le bénéfice est 16,5 – C(3) = 0,4 millier d’euros.

2. B(q) = 5,5q – C(q) ; B(q) = 5,5q – (0,4q2 + 1,5q + 8) ; B(q) = – 0,4q2 + 4q – 8.

3. a. B(q) = f(q).

On déduit de la feuille de calcul que B(x) > 0 lorsque x appartient à l’intervalle [3, 7].

b. Le bénéfice est maximal lorsque l’entreprise produit et vend 5 chaudières.

c. Ce bénéfice maximal est alors de 2 000 euros.