Troisième exercice de type Bac – Avec le tableur
A. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0, 10] par :
f(x) = – 0,4x2 + 4x – 8.
1. a. Calculer f'(x) où f' désigne la dérivée de la fonction f.
b. Étudier le signe de f'(x) pour tout nombre réel x de l’intervalle [0, 10].
c. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0, 10].
d. Quel est le maximum de la fonction f sur l’intervalle [0, 10] ?
2. La feuille de calcul ci-dessous, extraite d’un tableur, donne les images par la fonction f de quelques valeurs de l’intervalle [0, 10].
Quelle formule, destinée à être recopiée vers le bas, faut-il écrire en B2 pour compléter la colonne B ?
B. Une petite entreprise fabrique des chaudières à bois pour les petits immeubles. Pour des raisons de stockage, la production mensuelle q est comprise entre 0 et 10 unités.
Le coût total de fabrication mensuel, exprimé en milliers d’euros, est donné par la fonction C définie sur [0, 10] par :
C(q) = 0,4q2 + 1,5q + 8.
Chaque chaudière est vendue 5,5 milliers d’euros.
1. Calculer la recette puis le bénéfice correspondant à 3 chaudières.
2. Montrer que le bénéfice mensuel B(q), exprimé en milliers d’euros, est défini sur [0, 10] par B(q) = – 0,4q2 + 4q – 8.
3. En utilisant la partie A. :
a. Déterminer pour quelles productions le bénéfice est positif.
b. Déterminer le nombre de chaudières à fabriquer et à vendre mensuellement pour que le bénéfice soit maximal.
c. Quel est alors ce bénéfice maximal ?
Corrigé
A. 1. a. f'(x) = – 0,4(2x) + 4 = – 0,8x + 4.
b. f'(x) ≥ 0 si et seulement si : – 0,8x + 4 ≥ 0 ; 4 ≥ 0,8x ; .
f'(x) < 0 si et seulement si : x > 5.
D’où le signe de f'(x) :
c. D’où le tableau de variation :
d. f est maximale pour x = 5.
2. = – 0,4*A2^2+4*A2–0,8.
B. 1. Pour 3 chaudières vendues, la recette est 3 × 5,5 = 16,5.
Le bénéfice est 16,5 – C(3) = 0,4 millier d’euros.
2. B(q) = 5,5q – C(q) ; B(q) = 5,5q – (0,4q2 + 1,5q + 8) ; B(q) = – 0,4q2 + 4q – 8.
3. a. B(q) = f(q).
On déduit de la feuille de calcul que B(x) > 0 lorsque x appartient à l’intervalle [3, 7].
b. Le bénéfice est maximal lorsque l’entreprise produit et vend 5 chaudières.
c. Ce bénéfice maximal est alors de 2 000 euros.
