Dérivation et applications de la dérivation

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ST2S | Thème(s) : Fonction dérivée. Applications de la dérivation

Premier exercice de type Bac – Lectures graphiques

Maths_C05_16Lors d’une ingestion d’alcool, à jeun, le taux d’alcool présent dans le sang, en grammes par litre, en fonction du temps x, exprimé en heures, est donné par f(x) où f est une fonction définie sur [0, 5] dont la courbe 𝒞 représentative est donnée ci-contre. I est le point de la courbe 𝒞 de coordonnées (2 ; 1,35), J est le point de la courbe 𝒞 de coordonnées (4, 0) et K est le point de la courbe 𝒞 de coordonnées (0,25 ; 1,4). La droite (OK) est tangente à la courbe 𝒞 au point O et la droite (IJ) est tangente à la courbe 𝒞 au point I.

La tangente à la courbe 𝒞 au point S de coordonnées (1 ; 1,84) est parallèle à l’axe des abscisses.

1. Établir le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0, 5].

2. Déterminer le taux d’alcool maximal atteint.

3. On désigne par f' la fonction dérivée de la fonction f sur [0, 5].

On admet que, pour tout x de [0, 5], f'(x) est la vitesse d’évolution du taux d’alcool présent dans le sang.

a. Déterminer graphiquement f'(0).

b. Déterminer graphiquement f'(2).

c. Interpréter en termes de vitesse d’évolution le résultat obtenu au b).

4. La courbe 𝒞 admet une tangente pour tout x de l’intervalle [0, 5]. Déterminer graphiquement la position de la courbe 𝒞 par rapport à sa tangente pour tout x de [0, 5].

5. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) ≥ 0,4 (on fera apparaître les traits de construction utiles sur le graphique).

6. Sachant que pour conduire une voiture le taux d’alcool doit être inférieur à 0,5 gramme par litre, au bout de combien de temps après une telle ingestion d’alcool peut-on reprendre le volant ?

Corrigé

1.

Dans ce cas, le signe de f’(x) se déduit du sens de variation lu sur le graphique.

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_24

2. Le taux maximal atteint est : 1,84 gramme par litre.

3. a. f'(0) est le coefficient directeur de la tangente (OK) (Voir le paragraphe A du cours).

Le coefficient directeur de la droite (AB) avec A(xA, yA) et B(xB, yB) est m=yByAxBxA.

D’où, f'(0)=1,400,250, f'(0) = 5,6.

b. f’(2) est le coefficient directeur de la tangente (IJ). D’où :

f'(2)=01,3542=0,675 ; f'(2) = – 0,675.

c. Au bout de deux heures, la vitesse d’évolution est négative, le taux d’alcool présent dans le sang diminue.

4. • Sur [0, 2[, la courbe 𝒞 est au-dessous de sa tangente.

• La courbe traverse sa tangente pour x = 2.

• La courbe est au-dessus de sa tangente sur [2, 5].

5. Maths_C05_17L’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) ≥ 0,4 est l’ensemble des abscisses des points de la courbe 𝒞 dont les ordonnées sont supérieures ou égales à 0,4. L’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) ≥ 0,4 est donc [0,1 ; 3,9].

6. On lit sur le graphique que f(3,6) ≈ 0,5.

On peut reprendre le volant au bout de 3,6 heures, c’est-à-dire : 3 + 0,6 × 60, environ 3 heures et 36 minutes.