Dérivation et applications de la dérivation

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ST2S | Thème(s) : Fonction dérivée. Applications de la dérivation

Deuxième exercice de type Bac – Fonction polynôme du second degré

Partie A

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [70, 160] par la relation

f(x) = – 0,25 x2 + 60x – 2 775.

1. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_5

2. La fonction f admet sur l’intervalle [70, 160] une fonction dérivée. On note f’ cette fonction.

a. Calculer f(x) pour x élément de l’intervalle [70, 160].

b. Étudier le signe de f(x) sur l’intervalle [70, 160].

c. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [70, 160].

Partie B

Suite à l’installation d’une nouvelle antenne relais dans leur ville,les habitants d’un quartier, résidant à une distance comprise entre 70 mètres et 160 mètres de cette antenne, demandent une étude sur l’exposition aux champs électromagnétiques.

Ils font procéder à des mesures du champ électromagnétique généré par l’antenne.

On admet que, pour la zone concernée par l’étude, le nombre f(x) défini dans la partie A représente le champ électromagnétique1 mesuré en un point, en fonction de la distance x de ce point à l’antenne.

La courbe représentative de la fonction f, dans un repère orthogonal du plan, est donnée en annexe (à rendre avec la copie).

1. Déterminer graphiquement l’ensemble des valeurs du champ électrique auquel sont soumis les habitants de ce quartier. On donnera le résultat sous la forme d’un intervalle.

2. Les associations de riverains recommandent une exposition inférieure ou égale à 600 mV·m–1. Déterminer graphiquement les distances pour lesquelles ce seuil est respecté.

Annexe à rendre avec la copie

Maths_C05_18

Corrigé

A. 1.

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_4

2. a. Pour tout x de [70, 160], f’(x) = – 0,25(2x) + 60 = – 0,5x + 60.

b. f’(x) ≥ 0 équivaut à – 0,5x ≥ – 60 ; x ≤ 120.

Donc, f’(x) < 0 équivaut à x > 120.

c.

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_3

B. 1.

Maths_C05_19

D’où l’ensembe des valeurs cherchées : [200, 825].

2. Entre 70 et 90 m ou entre 150 et 160 m.