Dérivation et applications de la dérivation

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ST2S | Thème(s) : Fonction dérivée. Applications de la dérivation

Troisième exercice de type Bac – Fonction polynôme du troisième degré

Pendant une épidémie observée sur une période de onze jours, un institut de veille sanitaire a modélisé le nombre de personnes malades. La durée, écoulée à partir du début de la période et exprimée en jours est notée t. Le nombre de cas en fonction de la durée t est donné en milliers, par la fonction f de la variation réelle t définie et dérivable sur l’intervalle [0, 11], dont la représentation graphique 𝒞f est donnée en annexe.

Cette annexe, sur laquelle le candidat pourra faire figurer des traits de construction utiles au raisonnement, est à rendre avec la copie.

A. Étude graphique

Pour cette partie, on se référera à la courbe représentative 𝒞f de la fonction f.

1. On considère que la situation est grave lorsque le nombre de cas est d’au moins 150 000 malades.

Pendant combien de jours complets cela arrive-t-il ?

2. La droite (OA) est tangente à la courbe 𝒞f au point d’abscisse 0, où A est le point de coordonnées (10 ; 112,5).

Déterminer f'(0), ou f' désigne la fonction dérivée de la fonction f.

3. Le nombre f'(t) représente la vitesse d’évolution de la maladie, t jours après l’apparition des premiers cas.

a. Déterminer graphiquement le nombre maximal de malades sur la période des 11 jours observés et le moment où il est atteint.

Que peut-on dire de la vitesse d’évolution de la maladie ?

b. Déterminer graphiquement à quel moment de l’épidémie la maladie progresse le plus.

B. Étude théorique

La fonction f de la partie A est définie par :

f(t)=t3+212t2+454t.

1. Recopier et compléter, à laide de la calculatrice, le tableau de valeurs suivant :

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_23

2. Calculer f'(t) et vérifier que, pour tout t de l’intervalle [0, 11], f'(t)=3(t+12)(t152).

3. Étudier le signe de f'(t) pour t appartenant à l’intervalle [0, 11]. Cette réponse est-elle cohérente avec la courbe 𝒞f ? Expliquer.

4. Retrouver le résultat de la question 2, de la partie A.

Annexe

Maths_C05_04bis

Corrigé

A. 1. Un peu plus de 6 jours (4 ≤ t ≤ 10).

2. f'(0) est le coefficient directeur de la tangente (OA).

Le coefficient directeur de la droite (AB) avec A(xA, yA) et B(xB, yB) est m=yByAxBxA.

Donc, f'(0)=112,50100=11,25.

3. a. Le maximum est atteint pour t = 7,5. La vitesse d’évolution est nulle au bout de 7 jours et demi.

b. Le coefficient directeur de la tangente est le plus grand entre 3 et 4. L’épidémie progresse le plus vite entre le troisième et le quatrième jour.

B. 1.

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_22

2. Pour tout t de [0, 11], f'(t)=(3t2)+212(2t)+454,f'(t)=3t2+21t+454.

Pour tout t de [0, 11],

On applique les formules , , , , du cours.

3(1+12)(t152)=3(t2152t+12t154);3(1+12)(t152)=3(t27t154);3(1+12)(t152)=3t2+21t+454.

3. Pour tout t de [0, 11], t+12>0. Donc f'(t) a même signe que 3(t152) sur [0, 11].

3(t152)0 équivaut à t1520,t152.

Donc, 3(t152)0 équivaut à t152.

D’où le tableau de signe de f'(t).

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_21

f est croissante sur [0 ; 7,5] et décroissante sur [7,5 ; 11]

C’est cohérent avec la courbe 𝒞f.

4. f'(0)=3×12×(152)=454=11,25.