Des courbes, des tangentes et des aires

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Polynésie française
Corpus Corpus 1
Des courbes, des tangentes et des aires

Fonction exponentielle

matT_1406_13_02C

Ens. spécifique

12

CORRIGE

Polynésie française • Juin 2014

Exercice 4 • 5 points

Soient f et g les fonctions définies sur par et . On note 𝒞f et 𝒞g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal.

>1. Démontrer que les courbes 𝒞f et 𝒞g ont un point commun d’abscisse 0 et qu’en ce point, elles ont la même tangente dont on déterminera une équation.

>2. Étude de la position relative de la courbe 𝒞g et de la droite .

Soit h la fonction définie sur par .

a) Déterminer la limite de la fonction h en .

b) Justifier que, pour tout réel x, .

En déduire la limite de la fonction h en .

c) On note la fonction dérivée de la fonction h sur . Pour tout réel x, calculer et étudier le signe de suivant les valeurs de x.

d) Dresser le tableau de variations de la fonction h sur .

e) En déduire que, pour tout réel x, .

f) Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe 𝒞g et de la droite  ?

>3. Étude de la position relative des courbes 𝒞f et 𝒞g.

a) Pour tout réel x, développer l’expression .

b) Déterminer la position relative des courbes 𝒞f et 𝒞g.

>4. Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine compris entre les courbes 𝒞f et 𝒞g et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Dérivation • Limites de fonctions • Fonction logarithme népérien • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Dérivation  E6b • E6e • E6f • E8d  → 1. et 2.c)
  • Limites de fonctions  E5a • E5b • E8b  → 2.a) et 2.b)
  • Calculs avec la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien  E8b • E9a  → 2. c) et 3. a)
  • Variations d’une fonction  E6c  → 2. d)
  • Calcul d’aires  E11c • E13 • E14 4.

Nos coups de pouce

>1. N’oubliez pas de justifier la dérivabilité des fonctions utilisées.

>2. b) Pensez à utiliser les limites par croissances comparées et les limites par composition.

Corrigé
Corrigé

>1. Déterminer une tangente commune à deux courbes

  • et . Nous avons donc .

Les courbesetont donc un point commun d’abscisse 0.

  • La fonction est la fonction exponentielle, donc est dérivable sur . Pour tout réel  :

et .

L’équation réduite de la tangente à au point d’abscisse 0 est donc :

.

Notez bien

Si est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors .

  • La fonction est dérivable sur . Par composition, la fonction est dérivable sur . Par produit et différence, la fonction est dérivable sur .

Pour tout réel  : et .

L’équation réduite de la tangente à au point d’abscisse 0 est donc

.

Au point d’abscisse 0, les courbesetont une tangente commune d’équation.

>2. a) Calculer une limite en

;

comme , par somme .

b) Calculer une limite en

  • Pour tout réel non nul :

Notez bien

Pour tout réel non nul, .

.

Comme et , nous obtenons, par somme et produit :

.

c) Étudier le signe d’une dérivée

Notez bien

est dérivable sur et est dérivable sur (voir question 1.).

En remarquant que, pour tout réel , , nous pouvons dire que est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur .

Notez bien

Pout tout réel , .

Pour tout réel , .

On obtient ainsi :








Signe de






d) Construire le tableau de variations d’une fonction


Avec .

e) Démontrer une inégalité

D’après le tableau de variations de la question précédente, le minimum de la fonction sur est 0 donc, pour tout réel , ce qui équivaut à

Finalement, pour tout réel,.

f) Étudier la position relative d’une courbe et d’une droite

D’après l’inégalité précédente, nous avons, pour tout réel , . Par conséquent, la courbeest toujours au-dessus de la droiteD, avec un point de contact en.

>3. a) Développer une expression

Notez bien

Pour tous réels et :

.

Pour tout réel et tout

entier relatif :

.

Pour tout réel  :

b) Étudier la position relative de deux courbes

D’après la question 3. a), pour tout réel , donc .

La courbeest donc toujours au-dessus de la courbe, avec un point de contact en.

>4. Calculer l’aire comprise entre deux courbes

Les fonctions et sont dérivables donc continues sur et sur .

D’après ce qui précède, pour tout réel , .

Par conséquent, l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre les courbes et et les droites d’équations et est donnée par :

Ainsi