Des courbes, des tangentes et des aires

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Polynésie française
Corpus Corpus 1
Des courbes, des tangentes et des aires

Fonction exponentielle

matT_1406_13_02C

Ens. spécifique

12

CORRIGE

Polynésie française • Juin 2014

Exercice 4 • 5 points

Soient f et g les fonctions définies sur par et . On note f et g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal.

>1. Démontrer que les courbes f et g ont un point commun d’abscisse 0 et qu’en ce point, elles ont la même tangente dont on déterminera une équation.

>2. &Eacute tude de la position relative de la courbe g et de la droite .

Soit h la fonction définie sur par .

a) Déterminer la limite de la fonction h en .

b) Justifier que, pour tout réel x, .

En déduire la limite de la fonction h en .

c) On note la fonction dérivée de la fonction h sur . Pour tout réel  x, calculer et étudier le signe de suivant les valeurs de x.

d) Dresser le tableau de variations de la fonction h sur .

e) En déduire que, pour tout réel x, .

f) Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe g et de la droite   ?

>3. &Eacute tude de la position relative des courbes f et g.

a) Pour tout réel x, développer l’expression .

b) Déterminer la position relative des courbes f et g.

>4. Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine compris entre les courbes f et g et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1.

Les clés du sujet

Durée conseillée  : 60  min.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Dérivation • Limites de fonctions • Fonction logarithme népérien • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Dérivation   E6b • E6e • E6f • E8d  → 1. et 2.c)
  • Limites de fonctions   E5a • E5b • E8b  → 2.a) et 2.b)
  • Calculs avec la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien   E8b • E9a  → 2.  c) et 3.  a)
  • Variations d’une fonction   E6c  → 2.  d)
  • Calcul d’aires   E11c • E13 • E14  4.

Nos coups de pouce

>1. N’oubliez pas de justifier la dérivabilité des fonctions utilisées.

>2. b) Pensez à utiliser les limites par croissances comparées et les limites par composition.