Des entiers consécutifs

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Comparer, calculer et résoudre des problèmes
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Inédit


Sujet inédit • Nombres et calculs

Exercice • 7 points

Des entiers consécutifs

Le professeur choisit trois nombres entiers relatifs consécutifs rangés dans l’ordre croissant. Leslie calcule le produit du troisième nombre par le double du premier.

Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis il ajoute 2 au résultat obtenu.

▶ 1. Leslie a écrit le calcul suivant : 11 × (2 × 9).

Jonathan a écrit le calcul suivant : 102 + 2.

a) Effectuer les calculs précédents.

b) Quels sont les trois entiers choisis par le professeur ?

▶ 2. Le professeur choisit maintenant trois nouveaux entiers. Leslie et Jonathan obtiennent alors tous les deux le même résultat.

a) Le professeur a-t-il choisi 6 comme deuxième nombre ?

b) Le professeur a-t-il choisi − 7 comme deuxième nombre ?

c) Arthur prétend qu’en prenant pour inconnue le deuxième nombre entier (qu’il appelle n), l’équation n2 = 4 permet de retrouver le ou les nombres choisis par le professeur.

A-t-il raison ? Expliquer votre réponse en expliquant comment il a trouvé cette équation, puis donner les valeurs possibles des entiers choisis.

Les clés du sujet

Points du programme

Nombres relatifs • Résolution d’équations.

Nos coups de pouce

 1. b) Trois entiers consécutifs sont trois entiers qui se suivent. L’un d’entre eux est 9. Trouve les deux autres en observant les calculs écrits par Leslie et Jonathan.

 2. a) Si 6 est le deuxième nombre, le premier est 5. Trouve le troisième. Effectue les deux calculs et compare les résultats obtenus.

b) Si − 7 est le deuxième nombre, le troisième est − 6.

c) n est le deuxième entier, donc les deux autres sont n – 1 et n + 1. Écris en fonction de n l’expression obtenue par Leslie sans oublier les parenthèses indispensables. Écris de même en fonction de n l’expression obtenue par Jonathan.

Écris une équation et développe chacun de ses deux membres. Cherche enfin les deux entiers ayant pour carré 4, l’un d’entre eux est négatif.

Corrigé

Corrigé

▶ 1. a) On a 11 × (2 × 9) = 11 × 18 = mat3_1600_00_21C_eq01 et 102 + 2 = 100 + 2 = mat3_1600_00_21C_eq02.

Rappel

On appelle entiers consécutifs des entiers qui se suivent.

b) Dans le calcul de Leslie, 11 est le troisième nombre et 9 le premier. Dans le calcul de Jonathan, le deuxième nombre est 10. Les trois entiers choisis par le professeur sont 9, 10 et 11.

▶ 2. a) Si le professeur avait choisi 6, Leslie aurait écrit le calcul : 7 × (2 × 5) = 70 et Jonathan aurait écrit le calcul : 62 + 2 = 38.

Les deux résultats ne sont pas égaux, donc le professeur n’a pas choisi 6 comme deuxième nombre.

Attention !

− 7 est un nombre négatif. On a donc − 8 < − 7 < − 6.

b) Si le professeur avait choisi – 7, Leslie aurait écrit le calcul : − 6 × (2 × (– 8)) = 96 et Jonathan aurait écrit le calcul : (− 7)2 + 2 = 51.

Les deux résultats ne sont pas égaux, donc le professeur n’a pas choisi − 7 comme deuxième nombre.

▶ c) Arthur prend pour inconnue le deuxième nombre entier (qu’il appelle n). Le nombre qui précède n est n – 1 et celui qui le suit est n + 1.

Leslie écrit le calcul : (n + 1) × (2 × (n − 1)) et Jonathan écrit le calcul : n2 + 2.

Leslie et Jonathan obtiennent le même résultat, d’où l’équation :

(n + 1) × (2 × (n − 1)) = n2 + 2.

Développons le membre de gauche de cette équation :

(n + 1) × (2 × n − 2 × 1) = n2 + 2

(n + 1) × (2n − 2) = n2 + 2

n × 2nn × (−2) + 1 × 2n + 1 × (−2) = n2 + 2

2n2 − 2n + 2n – 2 = n2 + 2

2n2 − 2 + 2 = n2 + 2 + 2

2n2n2 = n2 + 4 – n2

n2 = 4.

L’équation n2 = 4 permet donc de retrouver le ou les nombres choisis par le professeur.

On a 22 = 4 et (− 2)2 = 4.

Les nombres choisis par le professeur sont − 3 ; − 2 et − 1 ou 1 ; 2 et 3.