Des personnes diabétiques

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Septembre 2016

Exercice 1 • 6 points • 1 h

Des personnes diabétiques

Les thèmes clés

Probabilités conditionnelles • Loi normale • Intervalle de confiance

 

Les trois parties sont indépendantes. Les résultats des probabilités seront arrondis à 10–3 près.

Partie 1

On estime qu’en 2013 la population mondiale est composée de 4,6 milliards de personnes âgées de 20 à 79 ans et que 46,1 % des personnes âgées de 20 à 79 ans vivent en zone rurale et 53,9 % en zone urbaine.

En 2013, d’après la fédération internationale du diabète, 9,9 % de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone urbaine est atteinte de diabète et 6,4 % de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone rurale est atteinte de diabète.

On interroge au hasard une personne âgée de 20 à 79 ans. On note :

R l’événement « la personne choisie habite en zone rurale » ;

D l’événement « la personne choisie est atteinte de diabète ».

1. Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilité.

2. a) Calculer la probabilité que la personne interrogée soit diabétique.

b) La personne choisie est diabétique. Quelle est la probabilité qu’elle habite en zone rurale ?

Partie 2

Une personne est dite en hypoglycémie si sa glycémie à jeun est inférieure à 60 mg · dL–1 et elle est en hyperglycémie si sa glycémie à jeun est supérieure à 110 mg · dL–1. La glycémie à jeun est considérée comme « normale » si elle est comprise entre 70 mg · dL–1 et 110 mg · dL–1. Les personnes ayant un taux de glycémie compris entre 60 et 70 mg · dL–1 ne font pas l’objet d’un suivi particulier.

On choisit au hasard un adulte dans cette population. Une étude a permis d’établir que la probabilité qu’il soit en hyperglycémie est 0,052 à 10–3 près. Dans la suite, on admettra que cette probabilité est égale à 0,052.

On modélise la glycémie à jeun, exprimée en mg · dL–1, d’un adulte d’une population donnée, par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance µ et d’écart type σ.

On donne ci-dessous la représentation graphique de la densité de probabilité de la variable aléatoire X.

matT_1609_07_02C_01

1. Quelle est la probabilité que la personne choisie ait une glycémie à jeun « normale » ?

2. Déterminer la valeur de σ arrondie au dixième.

3. Dans cette question, on prend σ = 12. Calculer la probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie.

Partie 3

Afin d’estimer la proportion, pour l’année 2013, de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans, on interroge au hasard 10 000 personnes. Dans l’échantillon étudié, 716 personnes ont été diagnostiquées diabétiques.

1. À l’aide d’un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 %, estimer la proportion de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans.

2. Quel doit être le nombre minimal de personnes à interroger si l’on veut obtenir un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à 0,01 ?

Les clés du sujet

Partie 1

2. a) Constatez que l’événement D est associé aux deux feuilles RD et R¯D. Concluez à l’aide de la formule des probabilités totales.

Partie 2

2. Justifiez que P(X110)=0,948. Introduisez ensuite la variable aléatoire Xc=X90σ, variable aléatoire centrée réduite associée à la variable aléatoire X. Traduisez l’égalité justifiée précédemment sous forme d’une équation faisant intervenir Xc et σ. Utilisez enfin votre calculatrice pour résoudre l’équation obtenue et pour conclure.

Partie 3

2. Traduisez la condition imposée sur l’amplitude de l’intervalle de confiance à l’aide d’une inéquation dont l’inconnue est n, n désignant le nombre de personnes à interroger.

Corrigé

Corrigé

Partie 1

1. Construire un arbre pondéré  E37 

Premier niveau de l’arbre : « zone »

46,1 % des personnes âgées de 20 à 79 ans vivent en zone rurale. La probabilité que l’événement R se réalise est ainsi P(R)=0,461.

53,9 % des personnes âgées de 20 à 79 ans vivent en zone urbaine. La probabilité que l’événement R¯ (« la personne choisie n’habite pas en zone rurale » équivalent à « la personne choisie habite en zone urbaine ») se réalise est alors P(R¯)=0,539.

Deuxième niveau de l’arbre : « diabète »

9,9 % de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone urbaine est atteinte de diabète. Par suite, la probabilité que l’événement D se réalise sachant que l’événement R¯ est réalisé est : PR¯(D)=0,099.

Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud (ici, le nœud R¯) est égale à 1, PR¯(D¯)=1PR¯(D)=10,099=0,901.

6,4 % de la population mondiale âgée de 20 à 79 ans vivant en zone rurale est atteinte de diabète. Par suite, la probabilité que l’événement D se réalise sachant que l’événement R est réalisé est : PR(D)=0,064. Enfin PR(D¯)=1PR(D)=10,064=0,936.

La situation peut alors se traduire à l’aide de l’arbre de probabilité suivant :

matT_1609_07_02C_02

2. a) Calculer une probabilité à l’aide d’un arbre pondéré  E37 

La probabilité que la personne interrogée soit diabétique est la probabilité de l’événement D. L’événement D est associé à deux feuilles : RD et R¯D. Par conséquent, la probabilité de l’événement D est la somme des probabilités de ces feuilles :

P(D)=P(RD)+P(R¯D)=P(R)×PR(D)+P(R¯)×PR¯(D)=0,461×0,064+0,539×0,099=0,082865.

La probabilité que la personne interrogée soit diabétique est environ 0,083.

b) Calculer une probabilité conditionnelle  E35 

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle, probabilité que la personne choisie habite en zone rurale sachant qu’elle est diabétique.

Cette probabilité conditionnelle se note PD(R) et par définition :

PD(R)=P(DR)P(D)=P(R)×PR(D)P(D)=0,461×0,0640,0828650,356.

La probabilité que la personne choisie habite en zone rurale sachant qu’elle est diabétique est environ 0,356.

Partie 2

1. Déterminer une probabilité par exploitation d’un graphique 
 E34 • E40e 

Une personne est dite en hyperglycémie si sa glycémie à jeun est supérieure à 110 mg  dL–1. D’après l’étude, la probabilité qu’un adulte choisi au hasard soit en hyperglycémie est (admise) égale à 0,052. Cela se traduit à l’aide de la variable aléatoire X par P(X>110)=0,052.

La courbe représentative de la densité de probabilité de la variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance μ et d’écart type σ est symétrique par rapport à la droite d’équation x=μ avec μ=90 ici. Par conséquent, nous avons :

P(X<70)=P(X<μ20)=P(X>μ+20)=P(X>110).

La glycémie à jeun est considérée comme « normale » si elle est comprise entre 70 mg  dL–1 et 110 mg  dL–1. La probabilité qu’un adulte choisi au hasard ait une glycémie à jeun « normale » se traduit alors à l’aide de la variable aléatoire X par P(70X110). À l’aide des deux points précédents, nous en déduisons que :

P(70X110)=1P(X<70)P(X>110)=12×0,052 =0,896.

La probabilité que la personne choisie ait une glycémie à jeun « normale » est 0,896.

2. Déterminer la valeur d’un écart type  E34 • E40d • E40e 

D’après l’énoncé, il est admis que P(X>110)=0,052. Les événements {X>110} et {X110} étant des événements contraires, il en découle que :

P(X110)=10,052=0,948.

Comme la variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance 90 et d’écart type σ alors, par définition, la variable aléatoire Xc=X90σ suit la loi normale centrée réduite.

Par suite, nous avons :

P(X110)=0,948P(X90centrer20)=0,948P(X90σréduire20σ)=0,948P(Xc20σ)=0,948XcN(0;12).

Résolvons alors l’équation P(Xca)=0,948a est un réel à déterminer et où Xc suit la loi normale centrée réduite.

Info

Syntaxe pour la TI 83 + : FracNormale(a,μ,σ) où μ=0 et σ=1.

Syntaxe pour la Casio Graph 75 :

InvNormCD(a,σ,μ).

À l’aide de la calculatrice, nous avons :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1609_07_02C_03

matT_1609_07_02C_04

Ainsi a1,6258.

Par identification, nous pouvons maintenant écrire que 20σ=a soit σ=20a12,3.

La valeur de σ, arrondie au dixième, est 12,3.

3. Déterminer une probabilité avec une loi normale  E40e • C3 

Une personne est dite en hypoglycémie si sa glycémie à jeun est inférieure à 60 mg  dL–1. La probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie se traduit alors à l’aide de la variable aléatoire X par P(X<60). Comme X suit la loi normale d’espérance 90 et que la courbe représentative de la densité associée à cette loi normale est symétrique par rapport à la droite d’équation x=90, nous avons :

P(X<60)=P(X90)P(60X90)                 = 0,5P(60X90).

Or, à l’aide de la calculatrice,

Info

Calcul de P(aXb) avec XN(μ;σ2).

Syntaxe pour la TI 83 + : NormalFrép (a,b,μ,σ).

Syntaxe pour la Casio Graph 75 : NormCD (a,b,σ,μ).

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1609_07_02C_05

matT_1609_07_02C_06

Ainsi, la probabilité que la personne choisie soit en hypoglycémie est environ 0,006.

Partie 3

1. Utiliser un intervalle de confiance  E44 

10 000 personnes ont été interrogées au hasard dans la population française âgée de 20 à 79 ans. La taille de l’échantillon considéré est donc n=10000.

Parmi ces 10 000 personnes, 716 ont été diagnostiquées diabétiques. La fréquence observée dans cet échantillon de personnes diagnostiquées diabétiques est : f=0,0716.

Comme n=1000030, n×f=7165 et n×(1f)=92845, les conditions sur n et f sont vérifiées et l’intervalle de confiance est défini par :

[f1n; f+1n]=[0,0716110 000;0,0716+110 000]=[0,0616;0,0816].

Au niveau de confiance 0,95, la proportion de personnes diagnostiquées diabétiques dans la population française âgée de 20 à 79 ans se situerait entre 6,16 % et 8,16 %.

2. Déterminer la taille d’un échantillon sous contrainte  E44 

L’amplitude de l’intervalle de confiance précédemment défini est égale à :

(0,0716+1n)(0,07161n)=2n.

La contrainte « l’intervalle de confiance a une amplitude inférieure ou égale à 0,01 » se traduit alors par l’inéquation suivante : 2n0,01. Or, par équivalence, nous avons :

2n0,014n0,012n410,012n40,0001n40000.

Le nombre minimal de personnes à interroger si l’on veut obtenir un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à 0,01 est 40 000.