Des plans perpendiculaires

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2016

Exercice 4 • 5 points

Des plans perpendiculaires

matT_1606_02_01C_04

On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-contre.

Le point O est le centre de la base ABCD avec OB = 1.

On rappelle que le segment [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur.

▶ 1. Justifier que le repère (OOBOCOS) est orthonormé.

Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère (OOBOCOS).

▶ 2. On définit le point K par la relation SK=13SD et on note I le milieu du segment [SO].

a) Déterminer les coordonnées du point K.

b) En déduire que les points B, I et K sont alignés.

c) On note L le point d’intersection de l’arête [SA] avec le plan (BCI). Justifier que les droites (AD) et (KL) sont parallèles.

d) Déterminer les coordonnées du point L.

▶ 3. On considère le vecteur n(112) dans le repère (OOBOCOS).

a) Montrer que n est un vecteur normal au plan (BCI).

b) Montrer que les vecteurs n, AS et DS sont coplanaires.

c) Quelle est la position relative des plans (BCI) et (SAD) ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Droites et plans • Géométrie vectorielle • Produit scalaire.

Les outils dont vous avez besoin

Décomposition d’un vecteur et repérage  E29  2. a), 2. b), 2. d), 3. a) et 3. b)

Vecteurs colinéaires et coplanaires  E27  2. b), 2. d), 3. a) et 3. b)

Orthogonalité  E26c  3. c)

Produit scalaire  E31b • E32 3. a)

Vecteur normal à un plan  E33a  3. a)

Nos coups de pouce

 2. c) Utilisez le théorème du toit avec des plans judicieusement choisis.

d) Exprimez le vecteur OL en fonction des vecteurs du repère.

 3. b) Calculez les coordonnées des vecteurs AS et DS et exprimez alors le vecteur n en fonction de ces deux vecteurs.

Corrigé

Corrigé

 1. Justifier qu’un repère est orthonormé

Pour démontrer que le repère (; OB, OC, OS) est orthonormé, on démontre que OB = OC = OS = 1 et que les droites (OB), (OC) et (OS) sont perpendiculaires deux à deux.

ABCD est un carré de centre O donc OC=OB=1énoncé et (OB)(OC).

D’après l’énoncé, (SO) est la hauteur de la pyramide donc elle est orthogonale au plan de base (BOC). Par conséquent, (SO) est orthogonale à toute droite du plan (BOC), en particulier (SO)(OC) et (SO)(OB).

Dans le triangle OBC rectangle en O, d’après le théorème de Pythagore :

BC2=OB2+OC2=12+12=2 et BC=2.

Toutes les arêtes de la pyramide ont donc une longueur égale à 2.

Dans le triangle SOB rectangle en O, d’après le théorème de Pythagore :

BS2=BO2+OS2,soitBS2BO2=OS2 et OS2=(2)2 12=1.

OS = 1. Le repère proposé (; OB,  OC,  OS) est un repère orthonormé.

▶ 2. a) Déterminer les coordonnées d’un point

Dans le repère (O;OB,OC,OS), le point O est le milieu du segment [DB] donc OD= OB= 1OB+0OC+0OS donc le point D a pour coordonnées D(1;0;0).

Comme le point S a pour coordonnées (0;0;1) on a :

SK=13SD{xKxS=13(xDxS)yKyS=13(yDyS)zKzS=13(zDzS){xK=13(xDxS)+xS=13×(10)+0=13yK=13(yDyS)+yS=13×(00)+0=0zK=13(zDzS)+zS=13×(01)+1=23

Le point K a pour coordonnées (13 ; 0 ; 23).

b) Justifier que des points sont alignés

I est le milieu du segment [OS] donc :

OI=0,5OS=0OB+0OC+0,5OS.

Le point I a pour coordonnées (0;0;0,5).

Comme le point B a pour coordonnées (1;0;0) :

BI|xIxB=01=1yIyB=00=0zIzB=0,50=0,5 et BK|xKxB=131=43yKyB=00=0zKzB=230=23,

Donc BK=43BI.

BK et BI sont colinéaires donc les points B, K et I sont alignés.

c) Justifier que des droites sont parallèles

SK=13SD donc K(SD)(SDA).

B, K et I sont alignés (question précédente) donc K(BI)(BCI).

On constate donc que K(SDA)(BCI).

L[SA](SDA). Comme L est le point d’intersection de l’arête [SA] avec le plan (BCI), on en déduit que L(BCI).

On constate donc que L(SDA)(BCI).

Notez bien

Théorème du toit : si deux plans P1 et P2, sécants suivant une droite d, contiennent respectivement les droites d1 et d2, parallèles, alors d est parallèle à d1 et d2.

Finalement, on en déduit que les plans (SDA) et (BCI) sont sécants suivant la droite (KL).

Maintenant, le plan (SDA) contient la droite (AD), le plan (BCI) contient la droite (BC), et (AD) et (BC) sont parallèles (carré ABCD).

D’après le théorème du toit, la droite (KL), intersection des plans (SDA) et (BCI), est parallèle à (AD) et (BC). Les droites (AD) et (KL) sont donc parallèles.

d) Déterminer les coordonnées d’un point

Dans le triangle ADS, K[SD] et L[SA]. Les points S, K et D sont alignés dans cet ordre. Les points S, L et A sont alignés dans cet ordre. Les droites (KL) et (AD) sont parallèles.

D’après le théorème de Thalès, SKSD=SLSA=KLAD. Or SKSD=13 donc KLAD=13 et KL=13AD. Comme les vecteurs KL et DA sont colinéaires de même sens, on a KL=13DA.

On a alors :

OL=OK+KL=13OB+23OSquestion 2.a)+13DA=13OB+23OS+13CBcarré ABCD=13OB+23OS+13(CO+OB) =13OB+23OS13OC+13OB=0OB13OC+23OS.

Le point L a pour coordonnées (0 ; 13 ; 23).

 3. a) Montrer qu’un vecteur est normal à un plan

D’après la question 2. b), BI| 100,5, et de plus BC|xCxB=01=1yCyB=10=1zCzB=00=0. Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

nBI=1×( 1)+1×0+2×0,5=0 donc nBI.

nBC=1×( 1)+1×1+2×0=0 donc nBC.

Le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCI) donc n est normal au plan (BCI).

b) Montrer que des vecteurs sont coplanaires

Dans le repère (O;OB,OC,OS), le point O est le milieu du segment [AC] (car ABCD est un carré de centre O) donc OA= OC=0OB1OC+0OS donc le point A a pour coordonnées (0;1;0).

Notez bien

Lorsque n=aAS+bDS, on dit que n s’exprime comme combinaison linéaire des vecteurs AS et DS.

AS|xSxA=00=0ySyA=0(1)=1zSzA=10=1et DS|xSxD=0(1)=1ySyD=00=0zSzD=10=1 or n|112 donc n=AS+DS.

Comme n=aAS+bDS avec a = 1 et = 1, on en déduit que les vecteurs n, AS et DS sont coplanaires.

c) Étudier la position relative de deux plans

D’après la question 3. a), n est normal au plan (BCI). D’après la question précédente, les vecteurs n, AS et DS sont coplanaires. On en déduit donc que les plans (BCI) et (SAD) sont perpendiculaires.