Des plans perpendiculaires

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Amérique du Nord

Amérique du Nord • Juin 2016

Exercice 4 • 5 points

Des plans perpendiculaires

matT_1606_02_01C_04

On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-contre.

Le point O est le centre de la base ABCD avec OB = 1.

On rappelle que le segment [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur.

▶ 1. Justifier que le repère (O  OBOCOS) est orthonormé.

Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère (O  OBOCOS).

▶ 2. On définit le point K par la relation SK=13SD et on note I le milieu du segment [SO].

a) Déterminer les coordonnées du point K.

b) En déduire que les points B, I et K sont alignés.

c) On note L le point d’intersection de l’arête [SA] avec le plan (BCI). Justifier que les droites (AD) et (KL) sont parallèles.

d) Déterminer les coordonnées du point L.

▶ 3. On considère le vecteur n(112) dans le repère (O  OBOCOS).

a) Montrer que n est un vecteur normal au plan (BCI).

b) Montrer que les vecteurs n, AS et DS sont coplanaires.

c) Quelle est la position relative des plans (BCI) et (SAD) ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Droites et plans • Géométrie vectorielle • Produit scalaire.

Les outils dont vous avez besoin

Décomposition d’un vecteur et repérage  E29  2. a), 2. b), 2. d), 3. a) et 3. b)

Vecteurs colinéaires et coplanaires  E27  2. b), 2. d), 3. a) et 3. b)

Orthogonalité  E26c  3. c)

Produit scalaire  E31b • E32 3. a)

Vecteur normal à un plan  E33a  3. a)

Nos coups de pouce

 2. c) Utilisez le théorème du toit avec des plans judicieusement choisis.

d) Exprimez le vecteur OL en fonction des vecteurs du repère.

 3. b) Calculez les coordonnées des vecteurs AS et DS et exprimez alors le vecteur n en fonction de ces deux vecteurs.

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