Des probabilités à la pelle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Estimation
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine

 

France métropolitaine • Juin 2015

Exercice 1 • 6 points

Des probabilités à la pelle

Les résultats des probabilités seront arrondis à 10−3 près.

Partie A

1. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un réel strictement positif donné.

On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction f définie sur [0 ; + ∞[ par f(x) = λeλx.

a) Soit c et d deux réels tels que 0  c < d.

Démontrer que la probabilité P(c  X  d) vérifie :

P( X  d) = eλc  eλd.

b) Déterminer une valeur de λ à 10−3 près de telle sorte que la probabilité P(X > 20) soit égale à 0,05.

c) Donner l’espérance de la variable aléatoire X.

Dans la suite de l’exercice on prend λ = 0,15.

d) Calculer P(10  X  20).

e) Calculer la probabilité de l’événement (X > 18).

2. Soit Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 16 et d’écart type 1,95.

a) Calculer la probabilité de l’événement (20  Y  21).

b) Calculer la probabilité de l’événement (Y < 11) ∪ (Y > 21).

Partie B

Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d’achat à ses clients privilégiés. Chacun d’eux reçoit un bon d’achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.

Les bons d’achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.

Les bons d’achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.

De façon analogue, les bons d’achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.

1. Calculer la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est rouge.

2. Montrer qu’une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057.

Pour la question suivante, on utilise cette valeur.

3. Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 €.

Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d’achats dans les différents magasins de la chaîne.

Ses doutes sont-ils justifiés ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Lois continues • Probabilités conditionnelles • Fluctuation.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Loi exponentielle E40a • E40c • E41c Partie A, 1.

Loi normale E40d Partie A, 2.

Fonction logarithme népérien E9a Partie A, 1. b)

Arbre pondéré E37 Partie B, 2.

Intervalle de fluctuation asymptotique E43 Partie B, 3.

Calculatrice

Probabilités avec la loi normale C3 Partie A, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

2. Pensez à construire un arbre pondéré traduisant la situation en ayant au préalable défini les événements adéquats et déterminé leurs probabilités respectives. Concluez en utilisant les propriétés d’un arbre pondéré.

3. Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique en vérifiant au préalable les conditions d’utilisation.

Corrigé

Corrigé

partie A

1. a) Démontrer un résultat de cours

La fonction 645038-Eqn24 est la densité associée à la variable aléatoire X.

Nous avons, pour tous réels 645038-Eqn25 et 645038-Eqn26 tels que 645038-Eqn27 :

645038-Eqn28

b) Déterminer le paramètre d’une loi exponentielle

Nous avons, puisque X suit une loi exponentielle :

645038-Eqn29

Notez bien

Pour tout réel x : 645038-Eqn30.

La condition imposée est 645038-Eqn31. Cela donne :

645038-Eqn32

Par conséquent, nous avons, à l’aide de la calculatrice, 645038-Eqn33(valeur arrondie au millième).

c) Calculer une espérance

Nous avons 645038-Eqn34. L’espérance de la variable X est 6,676 (valeur arrondie au millième).

d) Calculer la probabilité d’un événement avec une loi exponentielle

Grâce à la question 1. a), nous pouvons écrire :

645038-Eqn35

La probabilité que X prenne ses valeurs dans l’intervalle [10 ; 20] est 0,173 (valeur arrondie au millième).

e) Calculer la probabilité d’un événement avec une loi exponentielle

En suivant le même raisonnement qu’à la question 1. b), nous pouvons écrire :

645038-Eqn36.

La probabilité que X prenne des valeurs strictement supérieures à 18 est 0,067 (valeur arrondie au millième).

2. a) Calculer la probabilité d’un événement avec une loi normale

À la calculatrice, nous avons :

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

matT_1506_07_00C_04

matT_1506_07_00C_05

Par conséquent, 645038-Eqn37.

b) Calculer la probabilité d’un événement avec une loi normale

Les événements 645038-Eqn38 et 645038-Eqn39 sont disjoints. Par conséquent :

645038-Eqn40

À la calculatrice, nous avons :

TI 83 Plus.fr

CASIO GRAPH 75

matT_1506_07_00C_06

matT_1506_07_00C_07

Par conséquent, 645038-Eqn41.

partie B

1. Calculer une probabilité conditionnelle

Nous savons que le bon d’achat est rouge. Dans ce cas, il prend la valeur 30 euros avec une probabilité égale à 0,015 et la valeur 100 euros avec une probabilité égale à 0,010.

La probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est rouge est donc 645038-Eqn42.

2. Calculer une probabilité à l’aide d’un arbre pondéré

Considérons les événements suivants :

R : « le bon d’achat est rouge » ;

V : « le bon d’achat est vert » ;

S : « le bon d’achat est d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros ».

D’après la question précédente, nous avons 645038-Eqn43.

Maintenant, si le bon d’achat est vert, alors il prend la valeur 30 euros avec une probabilité égale à 0,067.

La probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu’il est vert est 645038-Eqn44.

Comme les bons d’achat sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts, nous avons aussi 645038-Eqn45 et 645038-Eqn46.

Notez bien

La somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

Résumons la situation à l’aide d’un arbre pondéré :

matT_1506_07_00C_08

À l’aide de l’arbre pondéré, nous pouvons écrire :

645038-Eqn47

La probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros est d’environ 0,057.

3. Utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique

La proportion de bons d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros est 645038-Eqn48.

Nous considérons ici 200 clients : la taille de notre échantillon est donc 645038-Eqn49.

Nous avons alors :

645038-Eqn50 ;

645038-Eqn51 ;

645038-Eqn52.

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 pour la fréquence de bons d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros dans un échantillon de taille 200 est ainsi défini et donné par :

645038-Eqn53

La fréquence de bons d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros dans notre échantillon de taille 200 est égale à : 645038-Eqn54.

Comme f appartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique I, nous pouvons en déduire que les doutes du directeur du magasin ne sont pas fondés.