Arithmétique
ENS. de SPÉCIALITÉ
43
matT_1611_03_00C
Amérique du Sud • Novembre 2016
Exercice 5 • 5 points • ⏱ 1 h
Des répétitions du chiffre 1
Les thèmes clés
Arithmétique • Congruences
Les entiers naturels 1, 11, 111, 1111, … sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s'écrivant qu'avec des 1.
Pour tout entier naturel p non nul, on note Np le rep-unit s'écrivant avec p fois le chiffre 1 :
.
Dans tout l'exercice, p désigne un entier naturel non nul.
L'objet de cet exercice est d'étudier quelques propriétés des rep-units.
Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers
▶ 1. Montrer que Np n'est divisible ni par 2 ni par 5.
▶ 2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 3.
a) Prouver que, pour tout entier naturel j, 10j ≡ 1 mod 3.
b) En déduire que Np ≡ p mod 3.
c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit Np soit divisible par 3.
▶ 3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 7.
a) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où a est l'unique entier relatif appartenant à {– 3 - 2 - 1 0 1 2 3} tel que 10m ≡ a mod 7.
On ne demande pas de justification.
m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
a |
b) Soit p un entier naturel non nul.
Montrer que 10p ≡ 1 mod 7 si et seulement si p est un multiple de 6.
On pourra utiliser la division euclidienne de p par 6.
c) Justifier que, pour tout entier naturel p non nul, .
d) Démontrer que « 7 divise Np » est équivalent à « 7 divise 9Np ».
e) En déduire que Np est divisible par 7 si et seulement si p est un multiple de 6.
Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait
▶ 1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On suppose que l'écriture décimale de n2 se termine par le chiffre 1, c'est-à-dire n2 ≡ 1 mod 10.
a) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.
n ≡ … [10] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
n2 ≡ … [10] |
b) En déduire qu'il existe un entier naturel m tel que : n = 10m + 1 ou n = 10m – 1.
c) Conclure que n2 ≡ 1 mod 20.
▶ 2. Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Quel est le reste de la division euclidienne de Np par 20 ?
▶ 3. En déduire que, pour p entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit Np n'est pas le carré d'un entier.
Les clés du sujet
Partie A
▶ 3. b) Démontrez l'équivalence demandée à l'aide d'une double implication.
c) Pensez à la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.
Partie B
▶ 3. Raisonnez par l'absurde en supposant qu'un rep-unit peut être le carré d'un entier et exploitez les questions 1. c) et 2. de la partie B pour aboutir à une contradiction.
Corrigé
Partie A
▶ 1. Montrer qu'un entier n'est divisible ni par 2, ni par 5
Np est impair donc Np n'est pas divisible par 2.
Np ne se termine pas par 0 ou 5 donc Np n'est pas divisible par 5.
▶ 2. a) Démontrer une relation de congruence
À retenir
Soient et deux entiers relatifs quelconques et un entier naturel non nul. Pour tout entier naturel , si alors .
, soit donc, pour tout entier naturel j, .
b) Démontrer une relation de congruence
D'après la question précédente, nous avons, pour tout entier naturel , .
Par conséquent, comme , on a et .
c) Établir un critère de divisibilité par 3
Puisque , d'après la question précédente, nous pouvons écrire :
Np est divisible par est divisible par 3.
Nous pouvons conclure que Np est divisible par 3 si et seulement si p est divisible par 3.
▶ 3. a) Compléter un tableau de congruences
À retenir
Soient , , et quatre entiers relatifs quelconques et un entier naturel non nul.
Pour tout entier naturel , si alors .
Si et , alors .
Pour : .
Pour : .
Pour : donc .
Pour : donc .
Pour : donc .
Pour : donc .
Pour : donc .
Finalement, nous obtenons :
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 3 | 2 | − 1 | − 3 | − 2 | 1 |
b) Démontrer une équivalence
Si est un multiple de 6, alors il existe un entier naturel tel que .
Par conséquent : et .
Supposons que . En considérant la division euclidienne de par 6, il existe un unique couple d'entiers naturels tel que où .
Par conséquent, et, puisque , nous obtenons . Or donc, d'après le tableau de la question 3. a), cette relation de congruence n'a lieu que pour . Par conséquent, donc est un multiple de 6.
Ainsi, pour tout entier naturel p non nul, si et seulement si p est un multiple de 6.
c) Justifier une égalité
Rappel
Pour tout réel , .
Nous avons, pour tout entier naturel non nul : .
d) Démontrer une équivalence
Si 7 divise Np, alors il existe un entier naturel tel que Np = 7k et donc 7 divise 9Np.
À retenir
Théorème de Gauss : Soient , et des entiers relatifs non nuls. Si divise le produit et si est premier avec alors divise .
Si 7 divise 9Np, puisque 7 est premier avec 9, d'après le théorème de Gauss, 7 divise Np.
Finalement, « 7 divise Np » est équivalent à « 7 divise 9Np ».
e) Établir un critère de divisibilité par 7
D'après la question 3. d), « 7 divise Np » est équivalent à « 7 divise 9Np ».
D'après la question 3. c), donc .
Par conséquent, « 7 divise 9Np » est équivalent à « 7 divise ».
Ensuite, « 7 divise » est équivalent à « ».
D'après la question 3. b), « » est équivalent à « est un multiple de 6 ».
En résumé, « 7 divise Np » est équivalent à « est un multiple de 6 ».
Autrement dit, « est divisible par 7 » si et seulement si « est un multiple de 6 ».
Partie B
▶ 1. a) Compléter un tableau de congruences
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 |
b) Déterminer les solutions d'une équation
Si , nous avons nécessairement, d'après le tableau de la question précédente, ou , soit n ≡ – 1 mod 10. Cela implique qu'il existe un entier naturel m tel que ou .
c) Justifier une relation de congruence
S'il existe un entier naturel tel que , alors :
S'il existe un entier naturel tel que , alors :
Dans tous les cas, nous concluons que
▶ 2. Calculer le reste dans une division euclidienne
Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Si , alors
Si , alors :
Dans tous les cas, nous concluons que Par conséquent, le reste de la division euclidienne de par 20 est 11.
▶ 3. Raisonner par l'absurde
Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Si le rep-unit Np était le carré d'un entier, il existerait un entier naturel tel que .
Comme , alors nous aurions alors . D'après la question 1. c) de la partie B, nous aurions par conséquent . Or, d'après la question précédente, nous avons Nous ne pouvons donc pas avoir .
En conclusion, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit n'est pas le carré d'un entier.