Arithmétique

ENS. de SPÉCIALITÉ

matT_1611_03_00C

Amérique du Sud • Novembre 2016

Exercice 5 • 5 points • ⏱ 1 h

Des répétitions du chiffre 1

Les thèmes clés

Arithmétique • Congruences

Les entiers naturels 1, 11, 111, 1111, … sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s'écrivant qu'avec des 1.

Pour tout entier naturel p non nul, on note Np le rep-unit s'écrivant avec p fois le chiffre 1 :

$N_{p} = \underset{\begin{array}{l} p répétition \\ du chiffre 1 \end{array}}{\underset{︸}{11 \dots 1}} = \sum_{k = 0}^{k = p - 1} 10^{k}$ .

Dans tout l'exercice, p désigne un entier naturel non nul.

L'objet de cet exercice est d'étudier quelques propriétés des rep-units.

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

▶ 1. Montrer que Np n'est divisible ni par 2 ni par 5.

▶ 2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 3.

a) Prouver que, pour tout entier naturel j, 10j ≡ 1 mod 3.

b) En déduire que Np ≡ p mod 3.

c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit Np soit divisible par 3.

▶ 3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 7.

a) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où a est l'unique entier relatif appartenant à {– 3 - 2 - 1 0 1 2 3} tel que 10m ≡ a mod 7.

On ne demande pas de justification.

m	0	1	2	3	4	5	6
a

b) Soit p un entier naturel non nul.

Montrer que 10p ≡ 1 mod 7 si et seulement si p est un multiple de 6.

On pourra utiliser la division euclidienne de p par 6.

c) Justifier que, pour tout entier naturel p non nul, $N_{p} = \frac{10^{p} - 1}{9}$ .

d) Démontrer que « 7 divise Np » est équivalent à « 7 divise 9Np ».

e) En déduire que Np est divisible par 7 si et seulement si p est un multiple de 6.

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait

▶ 1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On suppose que l'écriture décimale de n2 se termine par le chiffre 1, c'est-à-dire n2 ≡ 1 mod 10.

a) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.

n ≡ … [10]	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
n2 ≡ … [10]

b) En déduire qu'il existe un entier naturel m tel que : n = 10m + 1 ou n = 10m – 1.

c) Conclure que n2 ≡ 1 mod 20.

▶ 2. Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Quel est le reste de la division euclidienne de Np par 20 ?

▶ 3. En déduire que, pour p entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit Np n'est pas le carré d'un entier.

Les clés du sujet

Partie A

▶ 3. b) Démontrez l'équivalence demandée à l'aide d'une double implication.

c) Pensez à la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.

Partie B

▶ 3. Raisonnez par l'absurde en supposant qu'un rep-unit peut être le carré d'un entier et exploitez les questions 1. c) et 2. de la partie B pour aboutir à une contradiction.

Corrigé

Partie A

▶ 1. Montrer qu'un entier n'est divisible ni par 2, ni par 5

Np est impair donc Np n'est pas divisible par 2.

Np ne se termine pas par 0 ou 5 donc Np n'est pas divisible par 5.

▶ 2. a) Démontrer une relation de congruence

À retenir

Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs quelconques et $n$ un entier naturel non nul. Pour tout entier naturel $p$ , si $a \equiv b \mod n$ alors $a^{p} \equiv b^{p} \mod n$ .

$10 = 3 \times 3 + 1$ , soit $10 \equiv 1 \mod 3$ donc, pour tout entier naturel j, $10^{j} \equiv 1^{j} \equiv 1 \mod 3$ .

b) Démontrer une relation de congruence

D'après la question précédente, nous avons, pour tout entier naturel $k$ , $10^{k} \equiv 1 \mod 3$ .

Par conséquent, comme $N_{p} = \sum_{k = 0}^{p - 1} 10^{k}$ , on a $N_{p} \equiv \sum_{k = 0}^{p - 1} 1 \mod 3$ et $N_{p} \equiv p \mod 3$ .

c) Établir un critère de divisibilité par 3

Puisque $N_{p} \equiv p \mod 3$ , d'après la question précédente, nous pouvons écrire :

Np est divisible par $3 \Leftrightarrow N_{p} \equiv 0 \mod 3 \Leftrightarrow p \equiv 0 \mod 3 \Leftrightarrow p$ est divisible par 3.

Nous pouvons conclure que Np est divisible par 3 si et seulement si p est divisible par 3.

▶ 3. a) Compléter un tableau de congruences

À retenir

Soient $a$ , $b$ , $c$ et $d$ quatre entiers relatifs quelconques et $n$ un entier naturel non nul.

Pour tout entier naturel $p$ , si $a \equiv b \mod n$ alors $a^{p} \equiv b^{p} \mod n$ .

Si $a \equiv b \mod n$ et $c \equiv d \mod n$ , alors $a \times c \equiv b \times d \mod n$ .

Pour $m = 0$ : $10^{m} = 10^{0} = 1 \equiv 1 \mod 7$ .

Pour $m = 1$ : $10^{m} = 10^{1} = 7 + 3 \equiv 3 \mod 7$ .

Pour $m = 2$ : $10^{m} = 10^{2} \equiv 3^{2} \mod 7$ donc $10^{m} \equiv 2 \mod 7$ .

Pour $m = 3$ : $10^{m} = 10^{3} = 10^{2} \times 10 \equiv 2 \times 3 \mod 7$ donc $10^{m} \equiv - 1 \mod 7$ .

Pour $m = 4$ : $10^{m} = 10^{4} = 10^{2} \times 10^{2} \equiv 2^{2} \mod 7$ donc $10^{m} \equiv - 3 \mod 7$ .

Pour $m = 5$ : $10^{m} = 10^{5} = 10^{3} \times 10^{2} \equiv - 1 \times 2 \mod 7$ donc $10^{m} \equiv - 2 \mod 7$ .

Pour $m = 6$ : $10^{m} = 10^{6} = 10^{3} \times 10^{3} \equiv - 1 \times (- 1) \mod 7$ donc $10^{m} \equiv 1 \mod 7$ .

Finalement, nous obtenons :

$m$	0	1	2	3	4	5	6
$a$	1	3	2	− 1	− 3	− 2	1

b) Démontrer une équivalence

Si $p$ est un multiple de 6, alors il existe un entier naturel $k$ tel que $p = 6 k$ .

Par conséquent : $10^{p} = 10^{6 k} = {(10^{6})}^{k} \equiv 1^{k} \mod 7$ et $10^{p} \equiv 1 \mod 7$ .

Supposons que $10^{p} \equiv 1 \mod 7$ . En considérant la division euclidienne de $p$ par 6, il existe un unique couple d'entiers naturels $(b r)$ tel que $p = 6 b + r$ où $0 \leq r 6$ .

Par conséquent, $10^{p} = 10^{6 b + r} = {(10^{6})}^{b} \times 10^{r} \equiv 1 \times 10^{r} \mod 7$ et, puisque $10^{p} \equiv 1 \mod 7$ , nous obtenons $10^{r} \equiv 1 \mod 7$ . Or $0 \leq r 6$ donc, d'après le tableau de la question 3. a), cette relation de congruence n'a lieu que pour $r = 0$ . Par conséquent, $p = 6 b$ donc $p$ est un multiple de 6.

Ainsi, pour tout entier naturel p non nul, $10^{p} \equiv 1 \mod 7$ si et seulement si p est un multiple de 6.

c) Justifier une égalité

Rappel

Pour tout réel $q \neq 1$ , $\sum_{k = 0}^{p - 1} q^{k} = \frac{1 - q^{p}}{1 - q}$ .

Nous avons, pour tout entier naturel $p$ non nul : $N_{p} = \sum_{k = 0}^{p - 1} 10^{k} = \frac{1 - 10^{p}}{1 - 10} = \frac{1 - 10^{p}}{- 9} = \frac{10^{p} - 1}{9}$ .

d) Démontrer une équivalence

Si 7 divise Np, alors il existe un entier naturel $k$ tel que Np = 7k et $9 N_{p} = 7 \times 9 k$ donc 7 divise 9Np.

À retenir

Théorème de Gauss : Soient $a$ , $b$ et $c$ des entiers relatifs non nuls. Si $a$ divise le produit $b c$ et si $a$ est premier avec $b$ alors $a$ divise $c$ .

Si 7 divise 9Np, puisque 7 est premier avec 9, d'après le théorème de Gauss, 7 divise Np.

Finalement, « 7 divise Np » est équivalent à « 7 divise 9Np ».

e) Établir un critère de divisibilité par 7

D'après la question 3. d), « 7 divise Np » est équivalent à « 7 divise 9Np ».

D'après la question 3. c), $N_{p} = \frac{10^{p} - 1}{9}$ donc $9 N_{p} = 10^{p} - 1$ .

Par conséquent, « 7 divise 9Np » est équivalent à « 7 divise $10^{p} - 1$ ».

Ensuite, « 7 divise $10^{p} - 1$ » est équivalent à « $10^{p} \equiv 1 \mod 7$ ».

D'après la question 3. b), « $10^{p} \equiv 1 \mod 7$ » est équivalent à « $p$ est un multiple de 6 ».

En résumé, « 7 divise Np » est équivalent à « $p$ est un multiple de 6 ».

Autrement dit, « $N_{p}$ est divisible par 7 » si et seulement si « $p$ est un multiple de 6 ».

Partie B

▶ 1. a) Compléter un tableau de congruences

$n \equiv \dots m o d 10$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$n^{2} \equiv \dots m o d 10$	0	1	4	9	6	5	6	9	4	1

b) Déterminer les solutions d'une équation

Si $n^{2} \equiv 1 \mod 10$ , nous avons nécessairement, d'après le tableau de la question précédente, $n \equiv 1 \mod 10$ ou $n \equiv 9 \mod 10$ , soit n ≡ – 1 mod 10. Cela implique qu'il existe un entier naturel m tel que $n = 10 m + 1$ ou $n = 10 m - 1$ .

c) Justifier une relation de congruence

S'il existe un entier naturel $m$ tel que $n = 10 m + 1$ , alors :

$n^{2} = {(10 m + 1)}^{2} = 100 m^{2} + 20 m + 1 \equiv 1 \mod 20 .$

S'il existe un entier naturel $m$ tel que $n = 10 m - 1$ , alors :

$n^{2} = {(10 m - 1)}^{2} = 100 m^{2} - 20 m + 1 \equiv 1 \mod 20 .$

Dans tous les cas, nous concluons que $n^{2} \equiv 1 \mod 20 .$

▶ 2. Calculer le reste dans une division euclidienne

Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Si $p = 2$ , alors $N_{p} = \sum_{k = 0}^{p - 1} 10^{k} = 1 + 10 = 11 \equiv 11 \mod 20 .$

Si $p > 2$ , alors :

$\begin{matrix} N_{p} = \sum_{k = 0}^{p - 1} 10^{k} = 1 + 10 + \sum_{k = 2}^{p - 1} 10^{k} \\ = 11 + \sum_{k = 2}^{p - 1} 20 \times 5 \times 10^{k - 2} \\ = 11 + 20 \times \sum_{k = 2}^{p - 1} 5 \times 10^{k - 2} \\ \equiv 11 \mod 20 . \end{matrix}$

Dans tous les cas, nous concluons que $N_{p} \equiv 11 \mod 20 .$ Par conséquent, le reste de la division euclidienne de $N_{p}$ par 20 est 11.

▶ 3. Raisonner par l'absurde

Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Si le rep-unit Np était le carré d'un entier, il existerait un entier naturel $n$ tel que $N_{p} = n^{2}$ .

Comme $N_{p} \equiv 1 \mod 10$ , alors nous aurions alors $n^{2} = N_{p} \equiv 1 \mod 10$ . D'après la question 1. c) de la partie B, nous aurions par conséquent $n^{2} \equiv 1 \mod 20$ . Or, d'après la question précédente, nous avons $N_{p} \equiv 11 \mod 20 .$ Nous ne pouvons donc pas avoir $N_{p} = n^{2}$ .

En conclusion, pour tout entier naturel $p$ supérieur ou égal à 2, le rep-unit $N_{p}$ n'est pas le carré d'un entier.

Des répétitions du chiffre 1

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait

Partie A

Partie B

Partie A

▶ 1. Montrer qu'un entier n'est divisible ni par 2, ni par 5

▶ 2. a) Démontrer une relation de congruence

b) Démontrer une relation de congruence

c) Établir un critère de divisibilité par 3

▶ 3. a) Compléter un tableau de congruences

b) Démontrer une équivalence

c) Justifier une égalité

d) Démontrer une équivalence

e) Établir un critère de divisibilité par 7

Partie B

▶ 1. a) Compléter un tableau de congruences

b) Déterminer les solutions d'une équation

c) Justifier une relation de congruence

▶ 2. Calculer le reste dans une division euclidienne

▶ 3. Raisonner par l'absurde

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