Les entiers naturels 1, 11, 111, 1111, … sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s’écrivant qu’avec des 1.

Pour tout entier naturel p non nul, on note Np le rep-unit s’écrivant avec p fois le chiffre 1 :

$N_p=\underset{\begin{array}{l}p\text{ répétition }\\ \text{du chiffre 1}\end{array}}{\underbrace{11\cdots 1}}={\displaystyle \sum _{k=0}^{k=p-1}{10}^k}$.

Dans tout l’exercice, p désigne un entier naturel non nul.

L’objet de cet exercice est d’étudier quelques propriétés des rep-units.

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

▶ 1. Montrer que Np n’est divisible ni par 2 ni par 5.

▶ 2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 3.

a) Prouver que, pour tout entier naturel j, 10j ≡ 1 mod 3.

b) En déduire que Np ≡ p mod 3.

c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit Np soit divisible par 3.

▶ 3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 7.

a) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où a est l’unique entier relatif appartenant à {– 3 - 2  - 1  0  1  2  3} tel que 10m ≡ a mod 7.

On ne demande pas de justification.

b) Soit p un entier naturel non nul.

Montrer que 10p ≡ 1 mod 7 si et seulement si p est un multiple de 6.

On pourra utiliser la division euclidienne de p par 6.

c) Justifier que, pour tout entier naturel p non nul, $N_p=\frac{{10}^p-1}{9}$.

d) Démontrer que « 7 divise Np » est équivalent à « 7 divise 9Np ».

e) En déduire que Np est divisible par 7 si et seulement si p est un multiple de 6.

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n’est jamais un carré parfait

▶ 1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On suppose que l’écriture décimale de n2 se termine par le chiffre 1, c’est-à-dire n2 ≡ 1 mod 10.

a) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.

b) En déduire qu’il existe un entier naturel m tel que : n = 10m + 1 ou n = 10m – 1.

c) Conclure que n2 ≡ 1 mod 20.

▶ 2. Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Quel est le reste de la division euclidienne de Np par 20 ?

▶ 3. En déduire que, pour p entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit Np n’est pas le carré d’un entier.