Des répétitions du chiffre 1

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Amérique du Sud


Amérique du Sud • Novembre 2016

Exercice 5 • 5 points • 1 h

Des répétitions du chiffre 1

Les thèmes clés

Arithmétique • Congruences

 

Les entiers naturels 1, 11, 111, 1111, … sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s’écrivant qu’avec des 1.

Pour tout entier naturel p non nul, on note Np le rep-unit s’écrivant avec p fois le chiffre 1 :

Np=111p répétition du chiffre 1=k=0k=p110k.

Dans tout l’exercice, p désigne un entier naturel non nul.

L’objet de cet exercice est d’étudier quelques propriétés des rep-units.

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

1. Montrer que Np n’est divisible ni par 2 ni par 5.

2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 3.

a) Prouver que, pour tout entier naturel j, 10j 1 mod 3.

b) En déduire que Np p mod 3.

c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit Np soit divisible par 3.

3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 7.

a) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où a est l’unique entier relatif appartenant à {– 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3} tel que 10m a mod 7.

On ne demande pas de justification.

m

0

1

2

3

4

5

6

a

b) Soit p un entier naturel non nul.

Montrer que 10p 1 mod 7 si et seulement si p est un multiple de 6.

On pourra utiliser la division euclidienne de p par 6.

c) Justifier que, pour tout entier naturel p non nul, Np=10p19.

d) Démontrer que « 7 divise Np » est équivalent à « 7 divise 9Np ».

e) En déduire que Np est divisible par 7 si et seulement si p est un multiple de 6.

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n’est jamais un carré parfait

1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On suppose que l’écriture décimale de n2 se termine par le chiffre 1, c’est-à-dire n2 1 mod 10.

a) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.

n … [10]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

n2 … [10]

b) En déduire qu’il existe un entier naturel m tel que : = 10m + 1 ou = 10m – 1.

c) Conclure que n2 1 mod 20.

2. Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Quel est le reste de la division euclidienne de Np par 20 ?

3. En déduire que, pour p entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit Np n’est pas le carré d’un entier.

Les clés du sujet

Partie A

3. b) Démontrez l’équivalence demandée à l’aide d’une double implication.

c) Pensez à la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique.

Partie B

3. Raisonnez par l’absurde en supposant qu’un rep-unit peut être le carré d’un entier et exploitez les questions 1. c) et 2. de la partie B pour aboutir à une contradiction.

Corrigé

Corrigé

Partie A

1. Montrer qu’un entier n’est divisible ni par 2, ni par 5

Np est impair donc Np n’est pas divisible par 2.

Np ne se termine pas par 0 ou 5 donc Np n’est pas divisible par 5.

2. a) Démontrer une relation de congruence

À retenir

Soient a et b deux entiers relatifs quelconques et n un entier naturel non nul. Pour tout entier naturel p, si abmodn alors apbpmodn.

10=3×3+1, soit 101mod3 donc, pour tout entier naturel j, 10j1j1mod3.

b) Démontrer une relation de congruence

D’après la question précédente, nous avons, pour tout entier naturel k, 10k1mod3.

Par conséquent, comme Np=k=0p110k, on a Npk=0p11mod3 et Nppmod3.

c) Établir un critère de divisibilité par 3

Puisque Nppmod3, d’après la question précédente, nous pouvons écrire :

Np est divisible par 3Np0mod3p0mod3p est divisible par 3.

Nous pouvons conclure que Np est divisible par 3 si et seulement si p est divisible par 3.

3. a) Compléter un tableau de congruences

À retenir

Soient a, b, c et d quatre entiers relatifs quelconques et n un entier naturel non nul.

Pour tout entier naturel p, si abmodn alors apbpmodn.

Si abmodn et cdmodn, alors a×cb×dmodn.

Pour m=0 : 10m=100=11mod7.

Pour m=1 : 10m=101=7+33mod7.

Pour m=2 : 10m=10232mod7 donc 10m2mod7.

Pour m=3 : 10m=103=102×102×3mod7 donc 10m1mod7.

Pour m=4 : 10m=104=102×10222mod7 donc 10m3mod7.

Pour m=5 : 10m=105=103×1021×2mod7 donc 10m2mod7.

Pour m=6 : 10m=106=103×1031×(1)mod7 donc 10m1mod7.

Finalement, nous obtenons :

m

0

1

2

3

4

5

6

a

1

3

2

− 1

− 3

− 2

1

b) Démontrer une équivalence

Si p est un multiple de 6, alors il existe un entier naturel k tel que p=6k.

Par conséquent : 10p=106k=(106)k1kmod7 et 10p1mod7.

Supposons que 10p1mod7. En considérant la division euclidienne de p par 6, il existe un unique couple d’entiers naturels (b;r) tel que p=6b+r 0r<6.

Par conséquent, 10p=106b+r=(106)b×10r1×10rmod7 et, puisque 10p1mod7, nous obtenons 10r1mod7. Or 0r<6 donc, d’après le tableau de la question 3. a), cette relation de congruence n’a lieu que pour r=0. Par conséquent, p=6b donc p est un multiple de 6.

Ainsi, pour tout entier naturel p non nul, 10p1mod7 si et seulement si p est un multiple de 6.

c) Justifier une égalité

Rappel

Pour tout réel q1, k=0p1qk=1qp1q.

Nous avons, pour tout entier naturel p non nul : Np=k=0p110k=110p110=110p9=10p19.

d) Démontrer une équivalence

Si 7 divise Np, alors il existe un entier naturel k tel que Np = 7k et 9Np=7×9k donc 7 divise 9Np.

À retenir

Théorème de Gauss : Soient a, b et c des entiers relatifs non nuls. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b alors a divise c.

Si 7 divise 9Np, puisque 7 est premier avec 9, d’après le théorème de Gauss, 7 divise Np.

Finalement, « 7 divise Np » est équivalent à « 7 divise 9Np ».

e) Établir un critère de divisibilité par 7

D’après la question 3. d), « 7 divise Np » est équivalent à « 7 divise 9Np ».

D’après la question 3. c), Np=10p19 donc 9Np=10p1.

Par conséquent, « 7 divise 9Np » est équivalent à « 7 divise 10p1 ».

Ensuite, « 7 divise 10p1 » est équivalent à « 10p1mod7 ».

D’après la question 3. b), « 10p1mod7 » est équivalent à « p est un multiple de 6 ».

En résumé, « 7 divise Np » est équivalent à « p est un multiple de 6 ».

Autrement dit, « Np est divisible par 7 » si et seulement si « p est un multiple de 6 ».

Partie B

1. a) Compléter un tableau de congruences

nmod10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

n2mod10

0

1

4

9

6

5

6

9

4

1

b) Déterminer les solutions d’une équation

Si n21mod10, nous avons nécessairement, d’après le tableau de la question précédente, n1mod10 ou n9mod10, soit n  – 1 mod 10. Cela implique qu’il existe un entier naturel m tel que n=10m+1 ou n=10m1.

c) Justifier une relation de congruence

S’il existe un entier naturel m tel que n=10m+1, alors :

n2=(10m+1)2=100m2+20m+11mod20.

S’il existe un entier naturel m tel que n=10m1, alors :

n2=(10m1)2=100m220m+11mod20.

Dans tous les cas, nous concluons que n21mod20.

2. Calculer le reste dans une division euclidienne

Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Si p=2, alors Np=k=0p110k=1+10=1111mod20.

Si p>2, alors :

Np=k=0p110k=1+10+k=2p110k=11+k=2p120×5×10k2=11+20×k=2p15×10k211mod20.

Dans tous les cas, nous concluons que Np11mod20. Par conséquent, le reste de la division euclidienne de Np par 20 est 11.

3. Raisonner par l’absurde

Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Si le rep-unit Np était le carré d’un entier, il existerait un entier naturel n tel que Np=n2.

Comme Np1mod10, alors nous aurions alors n2=Np1mod10. D’après la question 1. c) de la partie B, nous aurions par conséquent n21mod20. Or, d’après la question précédente, nous avons Np11mod20. Nous ne pouvons donc pas avoir Np=n2.

En conclusion, pour tout entier naturel p supérieur ou égal à 2, le rep-unit Np n’est pas le carré d’un entier.