Arithmétique
ENS. de SPÉCIALITÉ
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matT_1611_03_00C
Amérique du Sud • Novembre 2016
Exercice 5 • 5 points • ⏱ 1 h
Des répétitions du chiffre 1
Les thèmes clés
Arithmétique • Congruences
Les entiers naturels 1, 11, 111, 1111, … sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s’écrivant qu’avec des 1.
Pour tout entier naturel p non nul, on note Np le rep-unit s’écrivant avec p fois le chiffre 1 :
.
Dans tout l’exercice, p désigne un entier naturel non nul.
L’objet de cet exercice est d’étudier quelques propriétés des rep-units.
Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers
▶ 1. Montrer que Np n’est divisible ni par 2 ni par 5.
▶ 2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 3.
a) Prouver que, pour tout entier naturel j, 10j ≡ 1 mod 3.
b) En déduire que Np ≡ p mod 3.
c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit Np soit divisible par 3.
▶ 3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 7.
a) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où a est l’unique entier relatif appartenant à {– 3 - 2 - 1 0 1 2 3} tel que 10m ≡ a mod 7.
On ne demande pas de justification.
m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
a |
b) Soit p un entier naturel non nul.
Montrer que 10p ≡ 1 mod 7 si et seulement si p est un multiple de 6.
On pourra utiliser la division euclidienne de p par 6.
c) Justifier que, pour tout entier naturel p non nul, .
d) Démontrer que « 7 divise Np » est équivalent à « 7 divise 9Np ».
e) En déduire que Np est divisible par 7 si et seulement si p est un multiple de 6.
Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n’est jamais un carré parfait
▶ 1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On suppose que l’écriture décimale de n2 se termine par le chiffre 1, c’est-à-dire n2 ≡ 1 mod 10.
a) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.
n ≡ … [10] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
n2 ≡ … [10] |
b) En déduire qu’il existe un entier naturel m tel que : n = 10m + 1 ou n = 10m – 1.
c) Conclure que n2 ≡ 1 mod 20.
▶ 2. Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Quel est le reste de la division euclidienne de Np par 20 ?
▶ 3. En déduire que, pour p entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit Np n’est pas le carré d’un entier.
Les clés du sujet
Partie A
▶ 3. b) Démontrez l’équivalence demandée à l’aide d’une double implication.
c) Pensez à la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique.
Partie B
▶ 3. Raisonnez par l’absurde en supposant qu’un rep-unit peut être le carré d’un entier et exploitez les questions 1. c) et 2. de la partie B pour aboutir à une contradiction.