Des répétitions du chiffre 1

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Amérique du Sud

Amérique du Sud • Novembre 2016

Exercice 5 • 5 points • 1 h

Des répétitions du chiffre 1

Les thèmes clés

Arithmétique • Congruences

 

Les entiers naturels 1, 11, 111, 1111, … sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s’écrivant qu’avec des 1.

Pour tout entier naturel p non nul, on note Np le rep-unit s’écrivant avec p fois le chiffre 1 :

Np=111p répétition du chiffre 1=k=0k=p110k.

Dans tout l’exercice, p désigne un entier naturel non nul.

L’objet de cet exercice est d’étudier quelques propriétés des rep-units.

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

1. Montrer que Np n’est divisible ni par 2 ni par 5.

2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 3.

a) Prouver que, pour tout entier naturel j, 10j 1 mod 3.

b) En déduire que Np p mod 3.

c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit Np soit divisible par 3.

3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 7.

a) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où a est l’unique entier relatif appartenant à {– 3 - 2  - 1  0  1  2  3} tel que 10m a mod 7.

On ne demande pas de justification.

m

0

1

2

3

4

5

6

a

b) Soit p un entier naturel non nul.

Montrer que 10p 1 mod 7 si et seulement si p est un multiple de 6.

On pourra utiliser la division euclidienne de p par 6.

c) Justifier que, pour tout entier naturel p non nul, Np=10p19.

d) Démontrer que « 7 divise Np » est équivalent à « 7 divise 9Np ».

e) En déduire que Np est divisible par 7 si et seulement si p est un multiple de 6.

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n’est jamais un carré parfait

1. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On suppose que l’écriture décimale de n2 se termine par le chiffre 1, c’est-à-dire n2 1 mod 10.

a) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.

n … [10]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

n2 … [10]

b) En déduire qu’il existe un entier naturel m tel que : = 10m + 1 ou = 10m – 1.

c) Conclure que n2 1 mod 20.

2. Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Quel est le reste de la division euclidienne de Np par 20 ?

3. En déduire que, pour p entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit Np n’est pas le carré d’un entier.

Les clés du sujet

Partie A

3. b) Démontrez l’équivalence demandée à l’aide d’une double implication.

c) Pensez à la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique.

Partie B

3. Raisonnez par l’absurde en supposant qu’un rep-unit peut être le carré d’un entier et exploitez les questions 1. c) et 2. de la partie B pour aboutir à une contradiction.