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Introduction

[Question abordée] Descartes se demande dans ce texte si toutes les sciences peuvent prétendre au même degré de certitude. A priori, toute science vise la vérité, mais ont-elles toutes la même rigueur ? Les mathématiques se définissent à la fois par leur objet, à savoir des nombres (arithmétique) et des figures (géométrie), et par leur méthode (elles sont un système déductif et n'ont donc pas de rapport avec l'expérience). Sciences formelles, qui ont pour objet des rapports (entre des nombres ou des figures), elles ne sont pas susceptibles d'être remises en cause par de nouvelles expériences. [Problématique] Mais leur statut particulier au sein de nos connaissances doit-il nous amener à rejeter les autres sciences, ou faut-il au contraire faire des mathématiques un modèle de connaissance ? [Annonce du plan] Dans un premier temps, Descartes expose la supériorité des mathématiques sur les autres sciences : procédant par déduction, pures de tout recours à l'expérience, les mathématiques disposent du plus haut degré de certitude. Dans un deuxième temps, il s'interroge sur l'attrait que peuvent exercer d'autres types de connaissances et, enfin, il écarte une conclusion possible de son raisonnement, en expliquant le rôle que doivent jouer les mathématiques dans toute recherche de la vérité.

1. Les mathématiques sont les sciences les plus certaines

A. Elles doivent leur certitude à leur objet et à leur méthode

Descartes amorce sa démonstration en affirmant la supériorité des mathématiques sur les autres sciences du point de vue de la certitude. Elles tiennent cette supériorité à la fois de leur objet, dit-il, et de leur méthode. En effet, les deux branches des mathématiques, à savoir l'arithmétique et la géométrie, ont des objets qui leur sont propres, à savoir les nombres pour la première, et les figures pour la seconde. L'objet des mathématiques, d'après Descartes, est « pur et simple », en ce sens qu'il est indépendant de l'expérience : les mathématiques construisent elles-mêmes leur objet, et le considèrent donc indépendamment de la question de son existence.

En effet, les mathématiques raisonnent sur les rapports entre les choses, et non sur les choses elles-mêmes. Ainsi, leurs vérités sont des vérités abstraites et non des vérités empiriques marquées par leur caractère « incertain ». Par ailleurs, leur méthode est également pure de tout rapport à l'expérience sensible : il s'agit d'une « suite de conséquences déduites par raisonnement », dit l'auteur. En d'autres termes, les mathématiques sont un système purement déductif : elles n'admettent qu'un résultat est vrai que s'il découle logiquement de prémisses qui sont elles-mêmes préalablement tenues pour vraies.

B. Les mathématiques sont donc des sciences faciles

C'est en raison de leur objet et de leur méthode que les mathématiques sont, dit Descartes, « les plus faciles et les plus claires » de toutes les sciences. Il ne s'agit pas, pour lui, de dire que les mathématiques ne demanderaient aucun effort : en réalité, elles peuvent être dites « faciles » dans la mesure où le fait qu'elles soient indépendantes de l'expérience sensible et fondées sur un raisonnement déductif garantit leur objectivité.

Par conséquent, l'erreur en mathématiques ne tient jamais à la nature de leur objet ou de leur méthode : la possibilité de l'erreur repose seulement sur notre « inattention », c'est-à-dire sur une défaillance momentanée de notre esprit, à laquelle il est possible de remédier.

[Transition] Pourtant, si les mathématiques sont les sciences les plus certaines, qu'est-ce qui peut expliquer l'attrait que d'autres sciences, moins certaines, exercent sur nous ?

2. Les mathématiques ne sont pas les sciences qui séduisent le plus

A. On pourrait croire que l'infériorité des autres sciences nous détournerait de ces sciences

Il pourrait découler de cette supériorité des mathématiques que les hommes se détournent de toutes les autres sciences, jugées inférieures. Or, il apparaît que ce n'est pas le cas. « Spontanément », observe Descartes, c'est-à-dire sans que cela résulte d'une réflexion, mais au contraire comme par une sorte de réflexe ou d'attrait immédiat, « beaucoup d'esprits s'appliquent plutôt à d'autres études ou à la philosophie ».

Mais qu'est-ce qui peut expliquer que nous préférions a priori nous tourner vers des disciplines moins certaines que les mathématiques ?

B. On préfère croire plutôt que savoir

D'après Descartes, les hommes aiment « affirmer des choses par divination dans des questions obscures », et « faire des conjectures sur une question quelconque ». Or, la « divination » et les « conjectures » ne sont précisément pas des voies d'accès à une vérité objective. Les mathématiques, on l'a vu, excluent tout recours à la subjectivité et n'admettent pour vrai que ce qui résulte de la déduction. Mais pour quelles raisons les hommes préfèreraient-ils croire plutôt que savoir ? Pourquoi préfèrent-ils tenir une chose pour vraie de façon subjective en mobilisant leur imagination, plutôt que de façon objective en mobilisant leur raison ? En réalité, dit Descartes, ce serait par goût de la facilité (volonté de se dispenser d'efforts) et par goût pour une « liberté », qui ne consisterait qu'à faire ce que bon leur semble, que les hommes se tourneraient vers d'autres sciences.

Si les mathématiques sont des sciences « faciles » dans la mesure où chacun d'entre nous peut y découvrir une vérité objective, elles supposent pourtant un effort, puisque notre rationalité doit s'y appliquer avec rigueur pour « parvenir à la vérité ». Au contraire, deviner, prédire, faire des hypothèses, affirmer sans prouver, croire et faire croire ne supposent aucun effort.

[Transition] S'il n'y a que les mathématiques qui soient certaines, et si toutes les autres sciences ne nous séduisent qu'en raison de notre goût pour la facilité et de nos dispositions pour la croyance, que nous faut-il faire ? Faut-il se détourner de toutes ces sciences et ne se consacrer qu'aux mathématiques ?

3. Les mathématiques, modèle de toute science

A. Il ne faut pas faire que des mathématiques

On pourrait penser que la démonstration de Descartes vise à établir « qu'il ne faut apprendre que l'arithmétique et la géométrie ». Après tout, puisque les mathématiques sont les sciences les plus certaines, puisqu'aucune autre science ne peut prétendre à leur degré de certitude, ne faut-il pas en tirer les conséquences en se détournant de toutes ces sciences pour ne se consacrer qu'aux mathématiques ?

B. Il faut prendre les mathématiques pour modèle

Descartes écarte d'emblée ce qui pourrait apparaître comme le but de sa démonstration : ceci ne doit pas nous détourner des autres sciences, mais nous indiquer comment nous devons nous rapporter à elles. Les mathématiques, en ce sens, ne doivent pas jeter le discrédit sur les autres sciences, mais au contraire leur servir de référence et de modèle. Autrement dit, « ceux qui cherchent le droit chemin de la vérité », c'est-à-dire ceux qui sont mûs par une volonté de savoir, et non par un désir de croyance lié à un refus de l'effort, « ne doivent s'occuper d'aucun objet dont ils ne puissent avoir une certitude égale à celle des démonstrations de l'arithmétique et de la géométrie ». Il s'agit ici, en quelque sorte, de l'exposition d'un programme de vérité : il faut, dit Descartes, aspirer au degré de certitude propre aux mathématiques. Or, la certitude des mathématiques étant liée à leur objet et à leur méthode, il est nécessaire de laisser de côté tout objet qui ne pourrait être simple et qui ne pourrait pas se prêter à cette méthode. Ce que nous offrent avant tout les mathématiques, c'est donc un modèle de raisonnement valable pour toute recherche scientifique.

Conclusion

En définitive, en établissant le rôle que doivent jouer les mathématiques dans toute recherche scientifique, en donnant la méthode mathématique pour modèle de toute science, Descartes développe dans ce texte un programme de vérité : étendre la méthode des mathématiques à l'ensemble des sciences, c'est précisément le projet de la mathesis universalis (mathématique universelle) cartésienne, conçue comme une science générale de l'ordre qui permettrait une connaissance achevée et totale.