S’entraîner
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exercice 5
Dans cet exercice, on considère la figure codée ci-dessous.
Les points A, C et E sont alignés.
Les points B, C et D sont alignés.
AB = 240 mm.
CE = 80 mm.
Le dessin n’est pas à l’échelle.
Partie A
▶ 1. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
▶ 2. Montrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
Partie B
On donne le programme suivant qui permet de tracer la figure précédente.
Ce programme comporte une variable nommée « côté ».
Les longueurs sont données en pas : 1 pas représente 1 mm.
On rappelle que l’instruction 
signifie que le lutin se dirige horizontalement vers la droite.
Programme | Le bloc triangle |
|
|
▶ 1. Quelles sont les coordonnées du point de départ du lutin ?
Aucune justification n’est demandée.
▶ 2. Quelle valeur doit être saisie à la ligne 4 dans le programme ?
Aucune justification n’est demandée.
▶ 3. Le lutin démarre à la case D8. Dans quelle case se trouve-t-il lorsqu’il vient d’exécuter la ligne 7 du programme ?
Aucune justification n’est demandée.
▶ 4. Expliquer l’instruction « côté / 3 » de la ligne 8 du programme pour le tracé de la figure.
Les clés du sujet
L’intérêt du sujet
Dans la première partie, tu utilises des théorèmes de géométrie plane. La deuxième partie te permet d’évaluer tes connaissances en Scratch.
Partie A ▶ 1. Déterminer la nature exacte d’un triangle | Calcule la mesure de l’angle . Attention à bien rédiger ! |
▶ 2. Prouver que deux droites sont parallèles | En étudiant la nature du triangle DEC, détermine des angles égaux dans cette configuration. Certains d’entre eux te permettront de répondre à la question ! |
Partie B ▶ 1. à 4. Comprendre un programme Scratch | N’hésite pas à faire le lien entre chaque ligne du programme et la configuration dessinée en partie A. Suis au mieux le trajet du lutin sur la figure aux points A, B, C, D, E, avec les longueurs 240 mm et 80 mm. |
Partie A
▶ 1. Dans le triangle ABC, on sait que . Calculons le dernier angle de ce triangle.
On utilise la propriété : « La somme des angles d’un triangle mesure 180°. » Donc :
.
Les trois angles du triangle ABC sont tous égaux à 60° : c’est donc un triangle équilatéral.
▶ 2. Le triangle DEC a 3 côtés égaux, donc il est équilatéral. On en déduit que .
E, C et A sont alignés, donc (AE) est la sécante commune à (DE) et (AB).
Les angles et sont alternes internes et tous les deux égaux à 60°.
On en déduit que (DE) est parallèle à (AB).
remarque
Il est aussi possible d’utiliser la réciproque de Thalès dans les triangles CED et CAB pour prouver le parallélisme des droites (DE) et (AB).
Partie B
▶ 1. Les coordonnées du point de départ du lutin sont écrites en ligne 2 : (−180 ; −150).
▶ 2. La ligne 4 définit la valeur initiale de la variable « côté », c’est-à-dire la valeur de la longueur AB. Comme 1 pas correspond à 1 mm, alors il faut saisir la valeur 240 en ligne 4.
▶ 3. Le lutin démarre en D8 (le point A sur le schéma).
À la fin de la ligne 5, le lutin a dessiné le triangle ABC de côté 240 pas. Il est donc à nouveau en D8 et est prêt à se diriger horizontalement vers la droite.
La ligne 6 ordonne au lutin de tourner de 60° dans le sens anti-horaire : il est prêt à se déplacer sur la demi-droite [AC).
La ligne 7 lui ordonne de se déplacer de 240 pas : il se retrouve au point C.
Le lutin se trouve en G3 lorsqu’il vient d’exécuter la ligne 7 du programme.
▶ 4. Le but des lignes 8 et 9 est de tracer le triangle CED, dont les côtés mesurent 80 pas.
En ligne 7, la variable « côté » est égale à 240 pas.
En plaçant dans le programme 
en ligne 8, la valeur de la variable « côté » passe à 240 ÷ 3 = 80 pas, ce qui permet de tracer le petit triangle.