Dessinons une ligne brisée

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Afrique
Corpus Corpus 1
Dessinons une ligne brisée

Nombres complexes et applications

matT_1406_01_03C

Ens. spécifique

21

CORRIGE

Afrique  • Juin 2014

Exercice 2 • 4 points

On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes zn par  :

On note rn le module du nombre complexe zn  : .

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine O, on considère les points An d’affixes zn.

>1. a) Calculer z1, z2 et z3.

b) Placer les points A1 et A2 sur le graphique de l’annexe (à rendre avec la copie).

c) &Eacute crire le nombre complexe sous forme trigonométrique.

d) Démontrer que le triangle OA0A1 est isocèle rectangle en A1.

>2. Démontrer que la suite (rn) est géométrique, de raison .

La suite (rn) est-elle convergente  ?

Interpréter géométriquement le résultat précédent.

>3. On note Ln la longueur de la ligne brisée qui relie le point A0 au point An en passant successivement par les points A1, A2, A3, etc.

Ainsi = A0A1+  A1A2+  …+ An&minus 1An.

a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, AnAn+1=rn+1.

b) Donner une expression de Ln en fonction de n.

c) Déterminer la limite éventuelle de la suite (Ln).

Annexe


Les clés du sujet

Durée conseillée  : 50  min.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Suites géométriques.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Forme algébrique d’un nombre complexe   E16a • E16b  → 1.  a) et 1.  b)
  • Module d’un nombre complexe   E18a • E18b • E18c  → 1.  c), 1.  d), 2. et 3.  a)
  • Argument d’un nombre complexe   E19b • E19d  → 1.  c)
  • Forme trigonométrique d’un nombre complexe   E20 1.  c)
  • Définition et propriétés d’une suite géométrique   E4  → 2., 3.  b) et 3.  c)
  • Limite d’une suite   E2c  → 3.  c)

Calculatrice

  • Calculs avec les nombres complexes   C4  → 1.  a), 1.  c) et 1.  d)

Nos coups de pouce

>1. d) Calculez les distances et Concluez.

>3. b) Remarquez que est la somme de termes consécutifs de la suite géométrique