Dessinons une ligne brisée

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Afrique
Corpus Corpus 1
Dessinons une ligne brisée

Nombres complexes et applications

matT_1406_01_03C

Ens. spécifique

21

CORRIGE

Afrique • Juin 2014

Exercice 2 • 4 points

On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes zn par :

On note rn le module du nombre complexe zn : .

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine O, on considère les points An d’affixes zn.

>1. a) Calculer z1, z2 et z3.

b) Placer les points A1 et A2 sur le graphique de l’annexe (à rendre avec la copie).

c) Écrire le nombre complexe sous forme trigonométrique.

d) Démontrer que le triangle OA0A1 est isocèle rectangle en A1.

>2. Démontrer que la suite (rn) est géométrique, de raison .

La suite (rn) est-elle convergente ?

Interpréter géométriquement le résultat précédent.

>3. On note Ln la longueur de la ligne brisée qui relie le point A0 au point An en passant successivement par les points A1, A2, A3, etc.

Ainsi = A0A1+ A1A2+ …+ An−1An.

a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, AnAn+1=rn+1.

b) Donner une expression de Ln en fonction de n.

c) Déterminer la limite éventuelle de la suite (Ln).

Annexe


Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Suites géométriques.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Forme algébrique d’un nombre complexe  E16a • E16b  → 1. a) et 1. b)
  • Module d’un nombre complexe  E18a • E18b • E18c  → 1. c), 1. d), 2. et 3. a)
  • Argument d’un nombre complexe  E19b • E19d  → 1. c)
  • Forme trigonométrique d’un nombre complexe  E20 1. c)
  • Définition et propriétés d’une suite géométrique  E4  → 2., 3. b) et 3. c)
  • Limite d’une suite  E2c  → 3. c)

Calculatrice

  • Calculs avec les nombres complexes  C4  → 1. a), 1. c) et 1. d)

Nos coups de pouce

>1. d) Calculez les distances et Concluez.

>3. b) Remarquez que est la somme de termes consécutifs de la suite géométrique

Corrigé
Corrigé

>1. a) Effectuer des calculs avec des nombres complexes

Notez bien

.

  • .

b) Placer des points

  • Le point est le point d’affixe dont la partie réelle est 8 et la partie imaginaire est 8 également.

Donc a pour coordonnées

  • Le point est le point d’affixe dont la partie réelle est 0 et la partie imaginaire est 8.

Donc a pour coordonnées


c) Écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique

Notez bien

Vous pouvez vérifier la cohérence de vos résultats à l’aide de votre calculatrice  C4 .

  • Déterminons le module de ce nombre complexe :

  • Déterminons un argument de ce nombre complexe non nul. Par propriété, un tel nombre réel exprimé en radians vérifie :

et .

À l’aide du tableau des valeurs usuelles, nous en déduisons que est un argument du nombre complexe

Remarque. Les arguments du nombre complexe s’écrivent : avec

Ainsi, le nombre complexe s’écrit sous forme trigonométrique de la manière suivante :

d) Déterminer la nature d’un triangle

Première méthode

Comme , le triangleest isocèle en.

De plus, et .

Donc et, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangleest rectangle en.

Deuxième méthode

Remarquons tout d’abord que et

Déterminons donc le quotient .

.

Notez bien

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Comme , on a alors .

Ainsi :

Nous en déduisons que :

  • et  : le triangleest donc isocèle en A1 ;
  • : le triangleest donc rectangle en A1.

>2. Étudier une suite

  • Pour tout entier naturel , nous avons :

Notez bien

Pour tous nombres complexes et

.

La suite est donc géométrique de raison et de premier terme

  • Nous avons alors, pour tout entier naturel  : .
  • Comme , La suiteestconvergente et
  • Comme , le résultat précédent signifie que quand devient de plus en plus grand, la distance tend vers 0. Autrement dit, le pointse rapproche du point (origine du repère).

>3. a) Calculer une distance à l’aide des modules

Pour tout entier naturel , nous avons :

b) Déterminer l’expression d’une suite

Pour tout entier naturel , nous avons :

Par suite, est la somme de termes consécutifs de la suite géométrique dont la raison est .

Notez bien

On multiplie au numérateur et au dénominateur par la quantité conjuguée de .

Comme (question 1. d)) est le premier terme de cette somme, nous avons :

c) Déterminer la limite d’une suite

Comme , . Par différence et produit, nous en déduisons que : .