Corpus Corpus 1

Détermination expérimentale d'une résistance thermique

Énergie, matière et rayonnement

pchT_1406_01_00C

Comprendre

Afrique • Juin 2014

Exercice 3 • 5 points

Pour déterminer expérimentalement la résistance thermique du verre, il est possible de mettre en œuvre le protocole schématisé ci-dessous.

On place, sur une enceinte fermée pouvant recevoir un courant de vapeur d'eau, une plaque de verre carrée de 12 cm de côté, et sur celle-ci un bloc de glace cylindrique de diamètre d = 8 cm.

Le transfert thermique à travers la plaque de verre, soumise à un écart de température ∆θ permet la fusion du bloc de glace plus rapidement qu'en le laissant à la température du laboratoire.

La plaque de verre utilisée a une épaisseur e = 4 mm.

L'objectif de cet exercice est de montrer comment ce dispositif permet d'évaluer la valeur de la résistance thermique d'un matériau.

Données

La chaleur latente massique de fusion de l'eau, notée L_f , correspond à l'énergie reçue par unité de masse d'eau lors du changement d'état solide-liquide à température et pression constantes :

L_f = 333,5 J · g^–1.

Pour atteindre l'objectif fixé, il est nécessaire de procéder à deux expériences.

Au cours de la première expérience, on laisse fondre un bloc de glace pendant une durée ∆t = 5 min 30 s, à la température ambiante du laboratoire. Au bout de cette durée, on recueille une masse d'eau liquide m₁ = 5,5 g. Le diamètre d du bloc de glace conserve pratiquement son diamètre initial (d = 7,8 cm à la fin de l'expérience).
Au cours de la seconde expérience, le bloc de glace est placé sur le même support, pendant la même durée ∆t = 5 min 30 s, mais cette fois le générateur de vapeur d'eau est mis en fonctionnement. La masse de glace fondue est alors m₂ = 124,4 g. La mesure du diamètre du bloc de glace est proche de celle obtenue lors de la première expérience : (d = 7,6 cm à la fin de l'expérience).

Remarque : La masse de glace fondue est mesurée grâce à la masse d'eau recueillie dans l'éprouvette.

1 Montrer que la valeur de l'énergie thermique E_th transférée à travers la paroi de verre et due à la mise en route du générateur de vapeur au cours de la deuxième expérience, est de l'ordre de 40 kJ. Préciser le mode de ce transfert thermique mis en œuvre et proposer une interprétation au niveau microscopique. (1 point)

2 On appelle flux thermique moyen à travers une paroi plane, la grandeur Φ définie par la relation :

1. Exprimer l'unité du flux thermique Φ en fonction des unités du système international (mètre, kilogramme et seconde). Avec quelle unité exprime-t-on généralement, plus usuellement, le flux thermique ? (0,5 point)

2. Calculer la valeur du flux thermique à travers la plaque de verre étudiée. (0,5 point)

3 La résistance thermique R_th de la portion de verre comprise entre le bloc de glace et l'enceinte fermée est reliée au flux thermique moyen Φ à travers la plaque de verre, par la relation :

où ∆θ représente l'écart de température entre les deux faces de la plaque de verre.

Déterminer la résistance thermique du verre. (0,5 point)

4 La mesure de la résistance thermique du verre est réalisée 12 fois, dans les mêmes conditions expérimentales. Les valeurs obtenues, exprimées avec l'unité du système international, sont rassemblées dans le tableau ci-dessous.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Résistance thermique	0,81	0,89	0,78	0,82	0,87	0,78	0,76	0,92	0,85	0,84	0,81	0,79

Soient la moyenne des n mesures réalisées et U(R_th) l'incertitude de mesure correspondante, associée au niveau de confiance de 95 %. Par définition :

σ_n_-1 désigne l'écart-type expérimental, défini par :

t₉₅ est appelé coefficient de Student. Pour n = 12 mesures et pour le niveau de confiance choisi de 95 %, t₉₅ = 2,20.

1. Écrire le résultat de la mesure expérimentale de R_th correspondant à un niveau de confiance de 95 %. (1 point)

2. Rédiger une phrase de conclusion traduisant la signification du résultat de la mesure de R_th donnée par la relation précédente. (0,5 point)

5 Dans l'industrie du bâtiment, les matériaux ne sont pas caractérisés par leur résistance thermique R_th, mais plutôt par leur résistance thermique surfacique R (ou résistance thermique par unité de surface). Déterminer la valeur de R du verre utilisé dans le dispositif expérimental.

Le constructeur indique une valeur plus élevée que celle obtenue expérimentalement.

Proposer une interprétation pour expliquer cette différence. (0,75 point)

Les clés du sujet

Notions et compétences en jeu

Transferts thermiques • Incertitudes.

Conseils du correcteur

1 L'unité et la définition de la chaleur latente permettent de trouver la formule à utiliser : E_th =m × L_f.

21. Pour les analyses dimensionnelles comme ici, vous devez prendre comme référence une formule connue de votre choix. Utilisez ici la formule de l'énergie cinétique pour exprimer les joules en unités internationales.

3 La plaque de verre est entre la vapeur d'eau et la glace. Quelles sont les températures correspondantes ?

41. Vous pouvez utiliser la formule donnée ou le mode « statistiques » de votre calculatrice pour le calcul de l'écart-type.

Corrigé

1 Calculer une énergie thermique transférée

Les deux expériences se distinguent par la mise en fonctionnement du générateur de vapeur. La différence entre les deux énergies reçues par la plaque de verre est donc due à cet apport.

Notez bien

La notion de chaleur latente n'est pas au programme mais à l'aide de la définition et de son unité, vous pouvez déterminer les transferts d'énergie lors du changement d'état d'un corps.

Cette différence d'énergie apportée permet la fonte de :

m =m₂ – m₁ = 124,4 – 5,5 =118,9 ≈ 1,2×10² g.

Or, d'après les données, la chaleur latente massique de fusion de l'eau est l'énergie nécessaire à la fonte d'un gramme d'eau, c'est-à-dire L_f = 333,5 J.

L'énergie thermique E_th transférée à travers la paroi en verre lors de la mise en route du générateur est donc :

Gagnez des points !

Quand vous reprenez une valeur calculée auparavant, ne reprenez pas la valeur arrondie mais la valeur exacte (118,9 est la valeur exacte de m, voir calcul plus haut).
Le résultat doit être donné avec le nombre de chiffres significatifs de la donnée la moins précise. Ici 2 chiffres significatifs suffisent car m₁ = 5,5 g.

E_th =m × L_f

E_th =118,9 × 333,5

E_th = 39 653,15 J

E_th = 40 kJ

Ici, le mode de transfert thermique est la conduction thermique. À l'échelle microscopique, ce mode de transfert correspond à la propagation de proche en proche de l'agitation thermique des composants de la matière en question. On peut ici parler d'une « onde de chaleur » : déplacement d'énergie sans déplacement de matière.

21. Déterminer l'unité d'une grandeur

D'après les données, le flux thermique Φ est défini par :

L'énergie thermique transférée E_th s'exprime en joules (J), la durée Δt en secondes. Le flux thermique s'exprime donc en joules par seconde. Le joule étant une unité d'énergie, partons de la formule de l'énergie cinétique pour trouver son équivalent en kilogrammes, mètres et secondes :

[E] = [1/2 mv²] = [masse] × [vitesse²] = [masse] × [vitesse]² = [masse] ×

On constate que le joule est équivalent à : kilogramme × .

En unités internationales, le flux thermique s'exprime donc en kg · m² · s^–3 (kilogramme × mètre²/seconde³). De façon plus usuelle, le flux est plutôt exprimé en watts (de symbole W).

2. Calculer un flux thermique

Appliquons la formule vue plus haut en faisant attention aux unités employées :

Φ =

3 Calculer une résistance thermique

La plaque de verre est « coincée » entre le bloc de glace et l'enceinte emprisonnant de la vapeur d'eau. Le bloc de glace est ainsi à une température de 0 &deg C et la vapeur d'eau à 100 &deg C.

Attention !

L'unité officielle de la température est le kelvin (K), il ne faut donc pas utiliser les degrés Celsius mais bien les kelvins dans les formules numériques. En fait ici, on fait une différence de température donc cela revient au même.

Nous avons donc les températures des deux faces de la plaque de verre, 0 &deg C et 100 &deg C, d'où :

R_th =

41. Écrire un résultat avec son incertitude de mesure

On calcule la moyenne de cette série de 12 mesures :

On calcule alors l'écart-type expérimental :

Attention !

L'incertitude est toujours exprimée avec un seul chiffre significatif et il faut toujours arrondir par excès la valeur trouvée.

L'incertitude de mesure est donc :

U(R_th) = 2,20 ×

D'où le résultat à un niveau de 95 % de confiance :

R_th = 0,830,04 K/W

Autre méthode de résolution

Les calculatrices graphiques permettent de calculer la moyenne et l'écart-type d'une série de mesures. Entraînez-vous à utiliser le mode statistique sur votre calculatrice.

2. Exprimer par une phrase un résultat avec son incertitude

On peut dire que l'on a 95 % de probabilité de trouver la valeur de la résistance thermique dans l'intervalle [0,79 0,87] K/W.

5 Calculer une résistance thermique surfacique et critiquer la valeur expérimentale

Par définition, la relation entre résistance thermique surfacique et résistance thermique est :

R =R_th × S

Déterminons la valeur de R du verre du dispositif expérimental :

Il est dit dans l'énoncé que « le constructeur indique une valeur plus élevée que celle obtenue expérimentalement ». Plusieurs raisons peuvent être invoquées pour expliquer la différence.

Nous cherchons à déterminer la résistance thermique du verre en testant une plaque de ce verre entre deux températures différentes 0 &deg C et 100 &deg C. Cependant, la plaque n'est pas soumise à ces deux températures sur toute sa surface : le bloc de glace ne la recouvre pas entièrement et donc il doit se produire des transferts thermiques entre le verre et l'air à côté du bloc de glace.
De plus, la surface du bloc de glace n'est pas constante tout au long de cette expérience, le transfert thermique se fait à travers une surface non constante.
Au début du transfert thermique, la plaque de verre ne doit pas être déjà à 100 &deg C, or le transfert est déjà commencé.