Annale corrigée Exercice Ancien programme

Déterminer

Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Déterminer

Nombres complexes et applications

Corrigé

26

Ens. spécifique

matT_1200_00_51C

Sujet inédit

Exercice • 4 points

On considère les nombres complexes suivants :

.

> 1. Déterminer le module et un argument du nombre complexe . (0,5 point)

> 2. a) Écrire le nombre complexe sous forme algébrique et démontrer que . (0,5 point)

b) Déterminer la notation exponentielle du nombre complexe . (0,5 point)

> 3. Écrire le nombre complexe sous forme algébrique. (0,5 point)

> 4. On note le nombre complexe défini par .

a) Calculer le module et un argument du nombre complexe z. (0,5 point)

b) Écrire le nombre complexe sous forme algébrique. (0,5 point)

c) En déduire les valeurs exactes des nombres réels et . (1 point)

Durée conseillée : 40 min.

Le thème en jeu

Nombres complexes.

Les conseils du correcteur

> 1. Relisez les méthodes des fiches C33 C34 .

> 2. a) Pensez au nombre complexe conjugué de .

b) Soyez astucieux ! → fiche C35

> 3. Rappelez-vous la signification de la notation exponentielle. → fiche C35

> 4. a) Utilisez le résultat du 2. b) ou les propriétés des arguments et du module d'un produit de nombres complexes. → fiches C33 C34

b) Utilisez la forme algébrique de et de . → fiche C31

c) Utilisez l'équivalence : et .

> 1. Déterminer le module et un argument d'un nombre complexe

  • .

Ainsi : .

On pose à près.

Alors, , d'où :

et , donc à près.

> 2. a) Déterminer une forme algébrique

.

b) Déterminer le module et un argument
d'un nombre complexe conjugué

D'après la question 1., .
Or , donc

Pour tout nombre complexe , et à près.

> 3. Changer la forme d'écriture d'un nombre complexe

> 4. a) Calculer le module et un argument d'un produit

.

Donc :

b) Déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe

En utilisant les résultats des questions 2. a) et 3. :

ce qui donne

c) Déterminer une valeur à l'aide de l'unicité de l'écriture de z

D'après la question 4. a),

et d'après la question 4. b), .

Donc, par identification des parties réelles
et imaginaires de :

et , ce qui donne :

et

.

En résumé :

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