Nombres complexes et applications
Corrigé
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Ens. spécifique
matT_1200_00_51C
Sujet inédit
Exercice • 4 points
On considère les nombres complexes suivants :
; 
; 
.
. (0,5 point)
sous forme algébrique et démontrer que 
. (0,5 point)
. (0,5 point)
sous forme algébrique. (0,5 point)
le nombre complexe défini par 
.
sous forme algébrique. (0,5 point)
et 
. (1 point)
Durée conseillée : 40 min.
Le thème en jeu
Nombres complexes.
Les conseils du correcteur
.
et de 
.
et 
.
> 1. Déterminer le module et un argument d’un nombre complexe
.
Ainsi : 
.
On pose 
à 
près.
Alors, 
, d’où :
et 
, donc 
à 
près.
> 2. a) Déterminer une forme algébrique
.
b) Déterminer le module et un argument
d’un nombre complexe conjugué
D’après la question 
.
Or 
, donc 
Pour tout nombre complexe 
, 
et 
à 
près.
> 3. Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe
> 4. a) Calculer le module et un argument d’un produit
.
Donc : 
b) Déterminer la forme algébrique d’un nombre complexe
En utilisant les résultats des questions
ce qui donne 
c) Déterminer une valeur à l’aide de l’unicité de l’écriture de z
D’après la question 
et d’après la question 
.
Donc, par identification des parties réelles
et imaginaires de 
:
et 
, ce qui donne :
et 
.
En résumé : 