Probabilités conditionnelles
matT_1505_09_10C
Ens. spécifique
28
Liban • Mai 2015
Exercice 4 • 5 points
Deux candidats pour un siège
En prévision d'une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de vote de futurs électeurs.
Parmi les 1 200 personnes qui ont répondu au sondage, 47 % affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.
Compte tenu du profil des candidats, l'institut de sondage estime que 10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.
On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :
A l'événement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A »
B l'événement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B »
V l'événement « La personne interrogée dit la vérité ».
▶ 1. Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.
▶ 2. a) Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.
b) Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu'elle affirme vouloir voter pour le candidat A.
▶ 3. Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0,529.
▶ 4. L'institut de sondage publie alors les résultats suivants :
| 52,9 % des électeurs* voteraient pour le candidat A. * Estimation après redressement, fondée sur un sondage d'un échantillon représentatif de 1 200 personnes. |
Au seuil de confiance de 95 %, le candidat A peut-il croire en sa victoire ?
▶ 5. Pour effectuer ce sondage, l'institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10 communications par demi-heure. La probabilité qu'une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est 0,4.
L'institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses.
Quel temps moyen, exprimé en heures, l'institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif ?
Les clés du sujet
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Probabilités • Estimation.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
Arbre pondéré E37 → 1., 2. a) et 3.
Probabilité conditionnelle E35 → 2. b)
Intervalle de confiance E44 → 4.
Loi binomiale E 39 → 5.
Nos coups de pouce
▶ 3. Justifiez que l'événement A est associé aux deux feuilles 
et 
puis utilisez la formule des probabilités totales.
▶ 4. Identifiez la taille de l'échantillon 
et la fréquence 
du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur 
et 
sont vérifiées pour définir l'intervalle de confiance correspondant. Concluez.
Corrigé
▶ 1. Construire un arbre pondéré
Premier niveau de l'arbre : « Candidat ».
47 % des personnes qui ont répondu à ce sondage affirment qu'elles voteront pour le candidat A. La probabilité que l'événement A se réalise est ainsi 
Les autres affirment qu'elles voteront pour le candidat B : la probabilité de l'événement B est alors de 
.
Deuxième niveau de l'arbre : « Vérité ».
10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et voteront en réalité pour le candidat B. Par suite, la probabilité que l'événement 
, événement contraire de l'événement V, se réalise sachant que l'événement A est réalisé est : 
. Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d'un même nœud (ici, le nœud A) est égale à 1, 
.
20 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et voteront en réalité pour le candidat A. Par suite, la probabilité que l'événement 
se réalise sachant que l'événement B est réalisé est : 
. Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d'un même nœud (ici, le nœud B) est égale à 1, 
.
▶ 2. a) Calculer une probabilité à l'aide d'un arbre
La probabilité que la personne interrogée dise la vérité est la probabilité de l'événement V. L'événement V est associé à deux feuilles : 
et 
. Par conséquent, la probabilité de l'événement V est la somme des probabilités de ces feuilles :
La probabilité que la personne interrogée dise la vérité est donc 0,847.
b) Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle, probabilité que la personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A sachant qu'elle dit la vérité. Cette probabilité conditionnelle se note 
et par définition :
La probabilité que la personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A sachant qu'elle dit la vérité est 
.
▶ 3. Calculer une probabilité
L'événement « la personne vote effectivement pour le candidat A » est associé à deux feuilles : 
(la personne affirme vouloir voter pour le candidat A et elle vote effectivement pour le candidat A) et 
(la personne affirme vouloir voter pour le candidat B et elle ne dit pas la vérité votant ainsi en réalité pour le candidat A). Par conséquent, la probabilité demandée est la somme des probabilités de ces feuilles :
La probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0,529.
▶ 4. Utiliser un intervalle de confiance
Le sondage a été réalisé sur un échantillon représentatif de 1 200 personnes. La taille de l'échantillon considéré est donc 
Parmi les 1 200 personnes sondées, la fréquence observée dans cet échantillon de personnes qui voteront effectivement pour le candidat A est 
.
Comme 
et 
les conditions sur 
et 
sont vérifiées et l'intervalle de confiance est :
Au niveau de confiance 0,95, la proportion de futurs électeurs qui voteront pour le candidat A se situerait entre 50,01 % et 55,79 %. Le candidat A peut croire en sa victoire.
▶ 5. Extraire de l'information pour déterminer une valeur
Contacter une personne par téléphone est une épreuve de Bernoulli qui admet deux issues :
l'événement succès : « la personne contactée accepte de répondre à l'enquête » de probabilité 
l'événement échec : « la personne contactée refuse de répondre à l'enquête » de probabilité 
En répétant 
fois cette épreuve de manière identique et indépendante, nous avons un schéma de Bernoulli d'ordre 
. La variable aléatoire 
qui, à tout échantillon de 
personnes contactées par téléphone, associe le nombre de personnes qui acceptent de répondre à l'enquête, suit donc la loi binomiale de paramètres 
et 
.
L'institut souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses. Autrement dit, l'espérance de la variable aléatoire 
doit être égale à 1 200. Or 
. Donc, 
et 
.
Comme dix communications sont réalisées par demi-heure, l'institut devra donc prévoir 300 demi-heures soit 150 heures pour parvenir à l'objectif fixé.