Deux candidats pour un siège

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2015

Exercice 4 • 5 points

Deux candidats pour un siège

En prévision d’une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de vote de futurs électeurs.

Parmi les 1 200 personnes qui ont répondu au sondage, 47 % affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.

Compte tenu du profil des candidats, l’institut de sondage estime que 10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.

On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :

A l’événement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A » ;

B l’événement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B » ;

V l’événement « La personne interrogée dit la vérité ».

1. Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.

2. a) Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.

b) Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu’elle affirme vouloir voter pour le candidat A.

3. Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0,529.

4. L’institut de sondage publie alors les résultats suivants :

52,9 % des électeurs* voteraient pour le candidat A.

* Estimation après redressement, fondée sur un sondage d’un échantillon représentatif de 1 200 personnes.

Au seuil de confiance de 95 %, le candidat A peut-il croire en sa victoire ?

5. Pour effectuer ce sondage, l’institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10 communications par demi-heure. La probabilité qu’une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est 0,4.

L’institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses.

Quel temps moyen, exprimé en heures, l’institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Probabilités • Estimation.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Arbre pondéré  E37 1., 2. a) et 3.

Probabilité conditionnelle  E35 2. b)

Intervalle de confiance  E44 4.

Loi binomiale  E 39 5.

Nos coups de pouce

3. Justifiez que l’événement A est associé aux deux feuilles 1111562-Eqn28 et 1111562-Eqn29 puis utilisez la formule des probabilités totales.

4. Identifiez la taille de l’échantillon 1111562-Eqn30 et la fréquence 1111562-Eqn31 du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur 1111562-Eqn32 et 1111562-Eqn33 sont vérifiées pour définir l’intervalle de confiance correspondant. Concluez.