Deux candidats pour un siège

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2015

Exercice 4 • 5 points

Deux candidats pour un siège

En prévision d’une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de vote de futurs électeurs.

Parmi les 1 200 personnes qui ont répondu au sondage, 47 % affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.

Compte tenu du profil des candidats, l’institut de sondage estime que 10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.

On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :

A l’événement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A » ;

B l’événement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B » ;

V l’événement « La personne interrogée dit la vérité ».

1. Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.

2. a) Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.

b) Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu’elle affirme vouloir voter pour le candidat A.

3. Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0,529.

4. L’institut de sondage publie alors les résultats suivants :

52,9 % des électeurs* voteraient pour le candidat A.

* Estimation après redressement, fondée sur un sondage d’un échantillon représentatif de 1 200 personnes.

Au seuil de confiance de 95 %, le candidat A peut-il croire en sa victoire ?

5. Pour effectuer ce sondage, l’institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10 communications par demi-heure. La probabilité qu’une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est 0,4.

L’institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses.

Quel temps moyen, exprimé en heures, l’institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Probabilités • Estimation.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Arbre pondéré  E37 1., 2. a) et 3.

Probabilité conditionnelle  E35 2. b)

Intervalle de confiance  E44 4.

Loi binomiale  E 39 5.

Nos coups de pouce

3. Justifiez que l’événement A est associé aux deux feuilles 1111562-Eqn28 et 1111562-Eqn29 puis utilisez la formule des probabilités totales.

4. Identifiez la taille de l’échantillon 1111562-Eqn30 et la fréquence 1111562-Eqn31 du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur 1111562-Eqn32 et 1111562-Eqn33 sont vérifiées pour définir l’intervalle de confiance correspondant. Concluez.

Corrigé

Corrigé

1. Construire un arbre pondéré

Premier niveau de l’arbre : « Candidat ».

47 % des personnes qui ont répondu à ce sondage affirment qu’elles voteront pour le candidat A. La probabilité que l’événement A se réalise est ainsi 1111562-Eqn311 Les autres affirment qu’elles voteront pour le candidat B : la probabilité de l’événement B est alors de 1111562-Eqn312.

Deuxième niveau de l’arbre : « Vérité ».

10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et voteront en réalité pour le candidat B. Par suite, la probabilité que l’événement 1111562-Eqn313, événement contraire de l’événement V, se réalise sachant que l’événement A est réalisé est : 1111562-Eqn314. Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud (ici, le nœud A) est égale à 1, 1111562-Eqn315.

20 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et voteront en réalité pour le candidat A. Par suite, la probabilité que l’événement 1111562-Eqn316 se réalise sachant que l’événement B est réalisé est : 1111562-Eqn317. Comme la somme des probabilités indiquées sur les branches issues d’un même nœud (ici, le nœud B) est égale à 1, 1111562-Eqn318.

matT_1505_09_02C_08

2. a) Calculer une probabilité à l’aide d’un arbre

La probabilité que la personne interrogée dise la vérité est la probabilité de l’événement V. L’événement V est associé à deux feuilles : 1111562-Eqn319 et 1111562-Eqn320. Par conséquent, la probabilité de l’événement V est la somme des probabilités de ces feuilles :

1111562-Eqn321

La probabilité que la personne interrogée dise la vérité est donc 0,847.

b) Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle, probabilité que la personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A sachant qu’elle dit la vérité. Cette probabilité conditionnelle se note 1111562-Eqn322 et par définition :

1111562-Eqn323

La probabilité que la personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A sachant qu’elle dit la vérité est 1111562-Eqn324.

3. Calculer une probabilité

L’événement « la personne vote effectivement pour le candidat A » est associé à deux feuilles : 1111562-Eqn325 (la personne affirme vouloir voter pour le candidat A et elle vote effectivement pour le candidat A) et 1111562-Eqn326 (la personne affirme vouloir voter pour le candidat B et elle ne dit pas la vérité votant ainsi en réalité pour le candidat A). Par conséquent, la probabilité demandée est la somme des probabilités de ces feuilles :

1111562-Eqn327

La probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0,529.

4. Utiliser un intervalle de confiance

Le sondage a été réalisé sur un échantillon représentatif de 1 200 personnes. La taille de l’échantillon considéré est donc 1111562-Eqn328

Parmi les 1 200 personnes sondées, la fréquence observée dans cet échantillon de personnes qui voteront effectivement pour le candidat A est 1111562-Eqn329.

Comme 1111562-Eqn3301111562-Eqn331 et 1111562-Eqn332 les conditions sur 1111562-Eqn333 et 1111562-Eqn334 sont vérifiées et l’intervalle de confiance est :

1111562-Eqn335

Au niveau de confiance 0,95, la proportion de futurs électeurs qui voteront pour le candidat A se situerait entre 50,01 % et 55,79 %. Le candidat A peut croire en sa victoire.

5. Extraire de l’information pour déterminer une valeur

Contacter une personne par téléphone est une épreuve de Bernoulli qui admet deux issues :

l’événement succès : « la personne contactée accepte de répondre à l’enquête » de probabilité 1111562-Eqn336

l’événement échec : « la personne contactée refuse de répondre à l’enquête » de probabilité 1111562-Eqn337

En répétant 1111562-Eqn338 fois cette épreuve de manière identique et indépendante, nous avons un schéma de Bernoulli d’ordre 1111562-Eqn339. La variable aléatoire 1111562-Eqn340 qui, à tout échantillon de 1111562-Eqn341 personnes contactées par téléphone, associe le nombre de personnes qui acceptent de répondre à l’enquête, suit donc la loi binomiale de paramètres 1111562-Eqn342 et 1111562-Eqn343.

L’institut souhaite obtenir un échantillon de 1 200 réponses. Autrement dit, l’espérance de la variable aléatoire 1111562-Eqn344 doit être égale à 1 200. Or 1111562-Eqn345. Donc, 1111562-Eqn346 et 1111562-Eqn347.

Comme dix communications sont réalisées par demi-heure, l’institut devra donc prévoir 300 demi-heures soit 150 heures pour parvenir à l’objectif fixé.