Annale corrigée Exercice

Deux courbes et une droite, intersection et distance

Sujet spécimen 2021 n° 2 • Exerice 4A

Deux courbes et une droite, intersection et distance

1 heure

5 points

Intérêt du sujet • Les deux fonctions considérées sont étudiées d'un point de vue graphique : points d'intersection, position relative, distance entre un point sur l'une et un point sur l'autre. Dans la dernière question, on cherche le nombre de points communs à l'une de ces courbes et à une droite donnée.

 

Le graphique ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, les courbes Cf et Cg des fonctions f et g définies sur ℝ par :

f(x)=x2ex et g(x)=ex.

matT_2100_07_08C_01

La question 3 est indépendante des questions 1 et 2.

1. a) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf et Cg.

b) Étudier la position relative des courbes Cf et Cg.

2. Pour tout nombre réel x de l'intervalle [- 1 ; 1], on considère les points M de coordonnées (x ; f(x)) et N de coordonnées (x ; g(x)), et on note d(x) la distance MN. On admet que d(x)=exx²ex.

On admet que la fonction d est dérivable sur l'intervalle [- 1 ; 1] et on note d′ sa fonction dérivée.

a) Montrer que d(x)=ex(x22x1).

b) En déduire les variations de la fonction d sur l'intervalle [- 1 ; 1].

c) Déterminer l'abscisse commune x0 des points M0 et N0 permettant d'obtenir une distance d(x0) maximale, et donner une valeur approchée à 0,1 près de la distance M0N0.

3. Soit Δ la droite d'équation y = x + 2.

On considère la fonction h dérivable sur ℝ et définie par :

h(x)=exx2.

Et étudiant le nombre de solutions de l'équation h(x)=0, déterminer le nombre de points d'intersection de la droite Δ et de la courbe Cg.

 

Les clés du sujet

1. a) Résolvez une équation pour trouver les abscisses des points communs. Calculez ensuite les ordonnées de ces points.

b) Étudiez le signe de f(x)g(x) suivant les valeurs de x.

2. a) Utilisez la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme eu et celle donnant la dérivée du produit de deux fonctions.

3. On demande seulement le nombre de points d'intersection, il n'est pas nécessaire de calculer leurs coordonnées.

1. a) Déterminer les points d'intersection de deux courbes

Les abscisses des points communs à Cf et Cg sont les solutions de l'équation f(x)=g(x).

f(x)=g(x)x2ex=ex.

Or ex0 pour tout x, donc :

f(x)=g(x)x2=1f(x)=g(x)x=1 ou x=1.

Cf et Cg ont donc deux points communs d'abscisses respectives 1 et - 1.

De plus f(1)=g(1)=e1=1e et f(1)=g(1)=e.

Cf et Cg ont deux points d'intersection, de coordonnées respectives ; 1e et (- 1 ; e).

remarque

Cette conclusion peut être vérifiée graphiquement.

b) Étudier la position relative de deux courbes

Pour tout réel x, f(x)g(x)=x2exex, soit f(x)g(x)=ex(x21).

Or ex>0 pour tout x, donc f(x)g(x) a le signe de (x21). Donc :

si x x21>0 donc f(x)g(x)>0, soit f(x)>g(x) ;

f(1)=g(1) ;

si - 1 x x210 donc f(x)g(x)0, soit f(x)g(x) ;

f(1)=g(1) ;

si x > 1, x21>0 donc f(x)g(x)>0, soit f(x)>g(x).

Pour les courbes représentatives :

sur ]-  ; - 1[ et sur ]1 ; + [, Cf est au-dessus de Cg ;

sur ]- 1 ; 1[, Cf est en dessous de Cg ;

Cf et Cg ont deux points communs d'abscisses respectives - 1 et 1.

2. a) Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout x appartenant à l'intervalle [- 1 ; 1] :

d(x)=ex2x ex+x2 ex=ex(x22x1).

b) Étudier les variations d'une fonction

remarque

On sait que d(- 1) = 0 et d(1) = 0, car Cf et Cg se coupent aux points d'abscisses - 1 et 1.

ex>0 pour tout x, donc d(x) a le signe de (x22x1).

Le discriminant du trinôme x22x1 est Δ = 8 ; ses racines sont 12 et 1+2.

(12)[1 ; 1] et (1+2)[1 ; 1], d'où le tableau :

Tableau de 3 lignes, 6 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : x; - 1; ; 1−2; ; 1 ; Ligne 2 : Signe de d′(x); ; +; 0; -; ; Ligne 3 : Variations de d; 0; ; d(1−2); ; 0;

c) Déterminer le maximum d'une fonction

D'après la question précédente, l'abscisse commune x0 des points M0 et N0 permettant d'obtenir une distance d(x0) maximale est x0=12.

M0N0=d(12)=e21[1(12)2]=e21(222).

À 0,1 près, M0N0=1,3.

3. Déterminer le nombre de points d'intersection d'une droite Δ et d'une courbe

Les abscisses des points d'intersection de Δ et Cg sont les solutions de l'équation :

x+2=g(x).

Donc le nombre de points d'intersection de Δ et Cg est égal au nombre de solutions de l'équation x+2=g(x).

Cette équation équivaut à ex=x+2, soit exx2=0, c'est-à-dire h(x)=0. Pour déterminer le nombre de solutions de cette équation, on étudie les variations de la fonction h sur ℝ.

Pour tout réel x, h(x)=ex1.

ex>0, donc h(x)0, et h est strictement décroissante sur ℝ.

limxex=+ et limx(x2)=+∞ , donc par somme :

limxh(x)=+.

limx+ex=0 et limx+(x2)=, donc par somme :

limx+h(x)=.

La fonction h est continue et strictement décroissante sur ℝ, limxh(x)=+ et limx+h(x)=, donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel k, l'équation h(x)=k a une unique solution dans ℝ. Donc en particulier, l'équation h(x)=0 a une unique solution dans ℝ.

On en déduit que la droite Δ et la courbe Cg ont un unique point d'intersection.

remarque

L'abscisse de ce point est la solution de l'équation h(x) = 0.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner