▶ 1. a) Déterminer les points d'intersection de deux courbes

Les abscisses des points communs à C_f et C_g sont les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$.

$f(x)=g(x)\iff x^2{\text{e}}^{-x}={\text{e}}^{-x}$.

Or ${\text{e}}^{-x}\ne 0$ pour tout x, donc :

$\begin{array}{l}f(x)=g(x)\iff x^2=1\\ f(x)=g(x)\iff x=\text{1 ou }x=-1.\end{array}$

C_f et C_g ont donc deux points communs d'abscisses respectives 1 et - 1.

De plus $f(1)=g(1)={\text{e}}^{-1}=\frac{1}{\text{e}}$ et $f(-1)=g(-1)=\text{e}$.

C_f et C_g ont deux points d'intersection, de coordonnées respectives $\left(\text{1 }; \frac{1}{\text{e}}\right)$ et (- 1 ; e).

b) Étudier la position relative de deux courbes

Pour tout réel x, $f(x)-g(x)=x^2{\text{e}}^{-x}-{\text{e}}^{-x}$, soit $f(x)-g(x)={\text{e}}^{-x}(x^2-1)$.

Or ${\text{e}}^{-x}>0$ pour tout x, donc $f(x)-g(x)$ a le signe de $(x^2-1)$. Donc :

si x - 1, $x^2-1>0$ donc $f(x)-g(x)>0$, soit $f(x)>g(x)$ ;

$f(-1)=g(-1)$ ;

si - 1 x 1, $x^2-10$ donc $f(x)-g(x)0$, soit $f(x)g(x)$ ;

$f(1)=g(1)$ ;

si x > 1, $x^2-1>0$ donc $f(x)-g(x)>0$, soit $f(x)>g(x)$.

Pour les courbes représentatives :

sur ]- ∞ ; - 1[ et sur ]1 ; + ∞[, C_f est au-dessus de C_g ;

sur ]- 1 ; 1[, C_f est en dessous de C_g ;

C_f et C_g ont deux points communs d'abscisses respectives - 1 et 1.

▶ 2. a) Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout x appartenant à l'intervalle [- 1 ; 1] :

$\begin{array}{c}{d}^{\prime }(x)=-{\text{e}}^{-x}-2x{\text{ e}}^{-x}+x^2{\text{ e}}^{-x}\\ ={\text{e}}^{-x}(x^2-2x-1).\end{array}$

b) Étudier les variations d'une fonction

${\text{e}}^{-x}>0$ pour tout x, donc $d^{\prime }(x)$ a le signe de $(x^2-2x-1)$.

Le discriminant du trinôme $x^2-2x-1$ est Δ = 8 ; ses racines sont $1-\sqrt[]{2}$ et $1+\sqrt[]{2}$.

$(1-\sqrt[]{2})\in [-1;1]$ et $(1+\sqrt[]{2})\notin [-1;1]$, d'où le tableau :

c) Déterminer le maximum d'une fonction

D'après la question précédente, l'abscisse commune x₀ des points M₀ et N₀ permettant d'obtenir une distance d(x₀) maximale est $\boxed{x_0=1-\sqrt[]{2}}$.

$\begin{array}{c}{\text{M}}_{\text{0}}{\text{N}}_{\text{0}}=d(1-\sqrt[]{2})\\ ={\text{e}}^{\sqrt[]{2}-1}[1-{(1-\sqrt[]{2})}^2]\\ ={\text{e}}^{\sqrt[]{2}-1}(2\sqrt[]{2}-2).\end{array}$

À 0,1 près, ${\text{M}}_{\text{0}}{\text{N}}_{\text{0}}=\mathrm{1,3}$.

▶ 3. Déterminer le nombre de points d'intersection d'une droite Δ et d'une courbe

Les abscisses des points d'intersection de Δ et C_g sont les solutions de l'équation :

$x+2=g(x)$.

Donc le nombre de points d'intersection de Δ et C_g est égal au nombre de solutions de l'équation $x+2=g(x)$.

Cette équation équivaut à ${\text{e}}^{-x}=x+2$, soit ${\text{e}}^{-x}-x-2=0$, c'est-à-dire $h(x)=0$. Pour déterminer le nombre de solutions de cette équation, on étudie les variations de la fonction h sur ℝ.

Pour tout réel x, $h^{\prime }(x)=-{\text{e}}^{-x}-1$.

${\text{e}}^{-x}>0$, donc $h^{\prime }(x)0$, et h est strictement décroissante sur ℝ.

$\underset{x\to -\text{∞}}{\lim }{\text{e}}^{-x}=+\text{∞}$ et $\underset{x\to -\text{∞}}{\lim }(-x-2)=+\text{∞ }$, donc par somme :

$\underset{x\to -\text{∞}}{\lim }h(x)=+\text{∞}$.

$\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }{\text{e}}^{-x}=0$ et $\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }(-x-2)=-\text{∞}$, donc par somme :

$\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }h(x)=-\text{∞}$.

La fonction h est continue et strictement décroissante sur ℝ, $\underset{x\to -\infty }{\lim }h(x)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }h(x)=-\infty$, donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel k, l'équation $h(x)=k$ a une unique solution dans ℝ. Donc en particulier, l'équation $h(x)=0$ a une unique solution dans ℝ.

On en déduit que la droite Δ et la courbe C_g ont un unique point d'intersection.