Utiliser la géométrie plane pour démontrer
mat3_1404_12_04C
Maths
49
CORRIGE
D'après Pondichéry • Avril 2014
Exercice 4 • 7 points
Une commune souhaite aménager des parcours de santé sur son territoire. On fait deux propositions au conseil municipal, schématisées ci-après :
le parcours ACDA ;
le parcours AEFA.
Ils souhaitent faire un parcours dont la longueur s'approche le plus possible de 4 km.
Peux-tu les aider à choisir le parcours ? Justifie.
Attention ! la figure proposée au conseil municipal n'est pas à l'échelle, mais les codages et les dimensions données sont correctes.
AC = 1,4 km
CD = 1,05 km
AE′ = 0,5 km
AE = 1,3 km
AF = 1,6 km
E′F′ = 0,4 km
(E′F′)//(EF)
L'angle  dans le triangle AEF vaut 30°.
Les clés du sujet
Points du programme
Théorème de Pythagore • Théorème de Thalès.
Nos coups de pouce
Pour calculer la longueur du parcours ACDA, utiliser le théorème de Pythagore.
Pour calculer la longueur du parcours AEFA, utiliser le théorème de Thalès.
Comparer les deux longueurs obtenues.
Corrigé
Calcul de la longueur 
du parcours ACDA.
Nous avons 
. Nous savons déjà que AC = 1,4 km et que CD = 1,05 km. Calculons DA.
Appliquons le théorème de Pythagore au triangle ACD rectangle en C.
.
Alors 
soit 
Calcul de la longueur 
du parcours AEFA.
Nous avons 
. Nous savons déjà que AE = 1,3 km et que FA = 1,6 km. Calculons EF.
Les points A, E′, E et A, F′, F sont alignés dans le même ordre et les droites (E′F′) et (EF) sont parallèles.
Attention !
Le texte indique que l'angle 
du
triangle AEF mesure 30°. Cette indication
ne sert à rien pour résoudre l'exercice 4 !
Appliquons le théorème de Thalès. Nous pouvons écrire 
. Soit 
ou encore 
.
Nous avons 
et 
.
Alors 
soit 
Conclusion : le parcours ACDA mesure 0,2 km de plus que les 4 km souhaités et le parcours AEFA mesure 0,06 km de moins que les 4 km souhaités.
Le parcours AEFA est celui qui s'approche le plus possible de 4 km.