Deux parcours de santé

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la géométrie plane pour démontrer
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Pondichéry


D’après Pondichéry • Avril 2014

Exercice 4 • 7 points

Une commune souhaite aménager des parcours de santé sur son territoire. On fait deux propositions au conseil municipal, schématisées ci-après :

le parcours ACDA ;

le parcours AEFA.

Ils souhaitent faire un parcours dont la longueur s’approche le plus possible de 4 km.

Peux-tu les aider à choisir le parcours ? Justifie.

Attention ! la figure proposée au conseil municipal n’est pas à l’échelle, mais les codages et les dimensions données sont correctes.

mat3_1404_12_00S_01

AC = 1,4 km

CD = 1,05 km

AE′ = 0,5 km

AE = 1,3 km

AF = 1,6 km

E′F′ = 0,4 km

(E′F′)//(EF)

L’angle  dans le triangle AEF vaut 30°.

Les clés du sujet

Points du programme

Théorème de Pythagore • Théorème de Thalès.

Nos coups de pouce

Pour calculer la longueur du parcours ACDA, utiliser le théorème de Pythagore.

Pour calculer la longueur du parcours AEFA, utiliser le théorème de Thalès.

Comparer les deux longueurs obtenues.

Corrigé

Corrigé

Calcul de la longueur 309538-Eqn34 du parcours ACDA.

Nous avons 309538-Eqn35. Nous savons déjà que AC = 1,4 km et que CD = 1,05 km. Calculons DA.

Appliquons le théorème de Pythagore au triangle ACD rectangle en C.

309538-Eqn36

309538-Eqn37

309538-Eqn38.

Alors 309538-Eqn39 soit 309538-Eqn40

Calcul de la longueur 309538-Eqn41 du parcours AEFA.

Nous avons 309538-Eqn42. Nous savons déjà que AE = 1,3 km et que FA = 1,6 km. Calculons EF.

Les points A, E′, E et A, F′, F sont alignés dans le même ordre et les droites (E′F′) et (EF) sont parallèles.

Attention !

Le texte indique que l’angle 309538-Eqn54 du

triangle AEF mesure 30°. Cette indication

ne sert à rien pour résoudre l’exercice 4 !

Appliquons le théorème de Thalès. Nous pouvons écrire 309538-Eqn47. Soit 309538-Eqn48 ou encore 309538-Eqn49.

Nous avons 309538-Eqn50 et 309538-Eqn51.

Alors 309538-Eqn52 soit 309538-Eqn53

Conclusion : le parcours ACDA mesure 0,2 km de plus que les 4 km souhaités et le parcours AEFA mesure 0,06 km de moins que les 4 km souhaités.

Le parcours AEFA est celui qui s’approche le plus possible de 4 km.