Deux programmes de calcul

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser le calcul littéral
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Polynésie française


D’après Polynésie française • Septembre 2014

Exercice 7 • 5 points

On considère ces deux programmes de calcul :

Programme A

• Choisir un nombre

• Soustraire 0,5

• Multiplier le résultat par le double du nombre choisi au départ

Programme B

• Choisir un nombre

• Calculer son carré

• Multiplier le résultat par 2

• Soustraire à ce nouveau résultat le nombre choisi au départ

1. a) Montrer que si on applique le programme A au nombre 10, le résultat est 190.

b) Appliquer le programme B au nombre 10.

2. On a utilisé un tableur pour calculer des résultats de ces deux ­programmes. Voici ce qu’on a obtenu :

A

B

C

1

Nombre choisi

Programme A

Programme B

2

1

1

1

3

2

6

6

4

3

15

15

5

4

28

28

6

5

45

45

7

6

66

66

a) Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule C2 puis recopiée vers le bas ?

b) Quelle conjecture peut-on faire à la lecture de ce tableau ?

c) Prouver cette conjecture.

3. Quels sont les deux nombres à choisir au départ pour obtenir 0 à l’issue de ces programmes ?

Les clés du sujet

Points du programme

Calcul littéral • Équations • Tableur.

Nos coups de pouce

1. a) et b) Effectuer successivement et dans l’ordre indiqué les différentes étapes des programmes de calcul en partant du nombre choisi.

2. c) Choisir un nombre quelconque 1129774-Eqn8 et appliquer les deux programmes de calcul. Comparer les résultats obtenus.

3. Résoudre une équation.

Corrigé

Corrigé

1. a) Application du programme A.

Le nombre choisi est 10.

Soustrayons 0,5 à ce nombre, nous obtenons 9,5.

Multiplions ce dernier résultat par le double du nombre choisi au départ, c’est-à-dire par 20. Nous obtenons 190.

C’est bien le résultat annoncé.

b) Application du programme B.

Le nombre choisi est 10.

Calculons son carré, nous obtenons 100.

Multiplions ce dernier résultat par 2. Nous obtenons 200.

Soustrayons à ce dernier résultat le nombre choisi au départ, c’est-à-dire 10. Nous obtenons 190.

2. a) La formule saisie dans la cellule C2 est 1129774-Eqn109.

b) La lecture du tableau nous amène à effectuer la conjecture suivante : « Pour un nombre choisi donné, les programmes A et B donnent le même résultat. »

c) Pour démontrer cette conjecture, appelons 1129774-Eqn108 le nombre choisi.

Appliquons le programme A.

Soustrayons 0,5 au nombre choisi x. Nous obtenons 1129774-Eqn110.

Multiplions ce dernier résultat par le double du nombre choisi au départ, c’est-à-dire par 1129774-Eqn111. Nous obtenons 1129774-Eqn112, c’est-à-dire 1129774-Eqn113.

Appliquons le programme B.

Calculons le carré du nombre choisi. Nous obtenons 1129774-Eqn114.

Multiplions ce dernier résultat par 2. Nous obtenons 1129774-Eqn115.

Soustrayons à ce dernier résultat le nombre choisi au départ, c’est-à-dire 1129774-Eqn116. Nous obtenons 1129774-Eqn117.

Conclusion : les programmes A et B donnent le même résultat. La conjecture est démontrée.

3. Pour obtenir 0 à l’issue de ces deux programmes, il faut au départ choisir 1129774-Eqn118 tel que 1129774-Eqn119.

Résolvons cette équation. Nous avons : 1129774-Eqn120.

Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l’un au moins des facteurs est nul :

1129774-Eqn121 ou 1129774-Eqn122 c’est-à-dire 1129774-Eqn123.

Conclusion : si on choisit au départ les nombres 0 ou 0,5 alors les programmes A et B donneront 0 pour résultat final.