Utiliser le calcul littéral
mat3_1409_13_02C
Maths
11
CORRIGE
D'après Polynésie française • Septembre 2014
Exercice 7 • 5 points
On considère ces deux programmes de calcul :
| Programme A • Choisir un nombre • Soustraire 0,5 • Multiplier le résultat par le double du nombre choisi au départ | Programme B • Choisir un nombre • Calculer son carré • Multiplier le résultat par 2 • Soustraire à ce nouveau résultat le nombre choisi au départ |
▶ 1. a) Montrer que si on applique le programme A au nombre 10, le résultat est 190.
b) Appliquer le programme B au nombre 10.
▶ 2. On a utilisé un tableur pour calculer des résultats de ces deux programmes. Voici ce qu'on a obtenu :
| A | B | C | |
| 1 | Nombre choisi | Programme A | Programme B |
| 2 | 1 | 1 | 1 |
| 3 | 2 | 6 | 6 |
| 4 | 3 | 15 | 15 |
| 5 | 4 | 28 | 28 |
| 6 | 5 | 45 | 45 |
| 7 | 6 | 66 | 66 |
a) Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule C2 puis recopiée vers le bas ?
b) Quelle conjecture peut-on faire à la lecture de ce tableau ?
c) Prouver cette conjecture.
▶ 3. Quels sont les deux nombres à choisir au départ pour obtenir 0 à l'issue de ces programmes ?
Les clés du sujet
Points du programme
Calcul littéral • Équations • Tableur.
Nos coups de pouce
▶ 1. a) et b) Effectuer successivement et dans l'ordre indiqué les différentes étapes des programmes de calcul en partant du nombre choisi.
▶ 2. c) Choisir un nombre quelconque 
et appliquer les deux programmes de calcul. Comparer les résultats obtenus.
▶ 3. Résoudre une équation.
Corrigé
▶ 1. a) Application du programme A.
Le nombre choisi est 10.
Soustrayons 0,5 à ce nombre, nous obtenons 9,5.
Multiplions ce dernier résultat par le double du nombre choisi au départ, c'est-à-dire par 20. Nous obtenons 190.
C'est bien le résultat annoncé.
b) Application du programme B.
Le nombre choisi est 10.
Calculons son carré, nous obtenons 100.
Multiplions ce dernier résultat par 2. Nous obtenons 200.
Soustrayons à ce dernier résultat le nombre choisi au départ, c'est-à-dire 10. Nous obtenons 190.
▶ 2. a) La formule saisie dans la cellule C2 est 
.
b) La lecture du tableau nous amène à effectuer la conjecture suivante : « Pour un nombre choisi donné, les programmes A et B donnent le même résultat. »
c) Pour démontrer cette conjecture, appelons 
le nombre choisi.
Appliquons le programme A.
Soustrayons 0,5 au nombre choisi x. Nous obtenons 
.
Multiplions ce dernier résultat par le double du nombre choisi au départ, c'est-à-dire par 
. Nous obtenons 
, c'est-à-dire 
.
Appliquons le programme B.
Calculons le carré du nombre choisi. Nous obtenons 
.
Multiplions ce dernier résultat par 2. Nous obtenons 
.
Soustrayons à ce dernier résultat le nombre choisi au départ, c'est-à-dire 
. Nous obtenons 
.
Conclusion : les programmes A et B donnent le même résultat. La conjecture est démontrée.
▶ 3. Pour obtenir 0 à l'issue de ces deux programmes, il faut au départ choisir 
tel que 
.
Résolvons cette équation. Nous avons : 
.
Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l'un au moins des facteurs est nul :
ou 
c'est-à-dire 
.
Conclusion : si on choisit au départ les nombres 0 ou 0,5 alors les programmes A et B donneront 0 pour résultat final.