Partie A • Étude du premier protocole

▶ 1. a) Calculer la dérivée d’une fonction

D’après la formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables, on a, pour tout t ∈[0 ; 10] :

$f^{\prime }(t)=3{\text{e}}^{-\mathrm{0,5}t+1}-\mathrm{0,5}\times 3t{\text{e}}^{-\mathrm{0,5}t+1}$.

$f^{\prime }(t)=3{\text{e}}^{-\mathrm{0,5}t+1}(-\mathrm{0,5}t+1)$.

b) Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

Pour tout t ∈[0 ; 10], ${\text{e}}^{-\mathrm{0,5}t+1}>0$, donc f′(t) a le signe de - 0,5t + 1.

$f^{\prime }(t)=0\iff t=2$.

Si 0 ≤ t < 2, alors - 0,5t + 1 > 0, donc $f^{\prime }(t)>0$.

Si 2 < t ≤ 10, alors - 0,5t + 1 < 0, donc $f^{\prime }(t)<0$.

D’où le tableau :

c) Rechercher le maximum d’une fonction

D’après la question précédente, la fonction f atteint son maximum sur [0 ; 10] en t = 2. Ce maximum est f(2).

$f(2)=3\times 2\times {\text{e}}^0=6$.

On en déduit que la quantité de médicament dans le sang du patient est maximale au bout de 2 heures ; elle est alors de 6 mg.

▶ 2. a) Montrer qu’une équation admet une solution

La fonction f est continue et strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 2].

$f(0)=0$, $f(2)=6$ et 5 ∈[0 ; 6]. On en déduit que l’équation $f\left(x\right)=5$ possède une unique solution α dans l’intervalle [0 ; 2].

D’après la calculatrice : $f(\mathrm{1,02})\approx \mathrm{4,995}$ et $f(\mathrm{1,03})\approx \mathrm{5,019}$, donc $f(\mathrm{1,02})\le f(\text{α})\le f(\mathrm{1,03})$, donc 1,02 ≤ α ≤ 1,03.

1,02 et 1,03 sont des valeurs approchées de $\text{α}$ à ${10}^{-2}$ près.

b) Déterminer la durée d’efficacité d’un traitement

D’après les questions précédentes :

$f(t)\ge \text{5}\iff \text{α}\le t\le \text{β}$.

La durée d’efficacité du traitement en heures est donc β - α.

β - α ≈ 3,46 - 1,02, donc β - α ≈ 2,44.

Or 1 h = 60 min, donc 2,44 h = 146,4 min, soit 2 h et 26,4 min.

Le traitement est donc efficace pendant environ 146 minutes, soit 2 heures et 26 minutes.

Partie B • Étude du deuxième protocole

▶ 1. Calculer une quantité de produit dans le sang d’un patient

Immédiatement avant l’injection de la première heure, il reste dans le sang du patient 70 % de la quantité de produit injectée initialement, puisqu’en une heure la quantité diminue de 30 %.

Des 2 mg injectés initialement, il reste donc 1,4 mg. À cette quantité s’ajoute la dose de 1,8 mg injectée au bout d’une heure.

Immédiatement après l’injection de la première heure, la quantité de médicament dans le sang du malade est de 3,2 mg.

▶ 2. Établir une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

Le raisonnement est similaire à celui de la question précédente. Juste avant l’injection de la n + 1-ième heure, il reste 70 % de la quantité u_n de produit présente une heure auparavant, soit 0,7u_n, et on ajoute une dose de 1,8 mg.

D’où, pour tout entier naturel n : $\boxed{u_{n+1}=\mathrm{0,7}{u}_n+\mathrm{1,8}}$.

▶ 3. a) Montrer par récurrence une inégalité entre les termes d’une suite

On veut montrer que, pour tout entier naturel n, u_n ≤ u_n+1 < 6.

Initialisation : on a u₀ = 2 et u₁ = 3,2, donc u₀ ≤ u₁ < 6. La propriété est vraie pour n = 0.

Hérédité : soit n un entier naturel tel que u_n ≤ u_n+1 < 6.

Alors, en multipliant par 0,7 : 0,7 u_n ≤ 0,7 u_n+1 < 4,2.

Puis, en ajoutant 1,8 : 0,7 u_n + 1,8 ≤ 0,7 u_n+1 + 1,8 < 6, soit u_n+1 ≤ u_n+2 < 6.

La propriété est vraie pour n + 1 si elle est vraie pour n ; elle est héréditaire.

Conclusion : la propriété étant vraie pour n = 0 et héréditaire, par récurrence elle est vraie pour tout entier naturel n.

b) Montrer qu’une suite est convergente

D’après la question précédente, la suite (u_n) est croissante et majorée par 6. D’après le théorème de convergence monotone, elle est convergente.

c) Déterminer et interpréter la limite d’une suite

On a $\mathcal{l}=\underset{n\to +\text{∞}}{\lim }{u}_n$ donc $\underset{n\to +\text{∞}}{\lim }{u}_{n+1}=\mathcal{l}$.

Or pour tout entier naturel n, u_n+1 = 0,7u_n + 1,8, donc par opérations sur les limites : l = 0,7l + 1,8.

l = 0,7l + 1,8 ⇔ l = 6.

La suite $(u_n)$ converge vers 6. Cela signifie qu’à long terme, avec ce protocole, la quantité de médicament dans le sang du patient se rapprochera de 6 mg.

▶ 4. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

v_n+1 = 6 - u_n+1 = 6 - 0,7u_n - 1,8 = 4,2 - 0,7u_n

v_n+1 = 0,7(6 - u_n) = 0,7v_n.

On en déduit que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,7.

Son premier terme est v₀ = 6 - u₀, soit $\boxed{v_0=4}$.

b) Déterminer l’expression du terme général de deux suites

Puisque (v_n) est la suite géométrique de raison 0,7 et de premier terme 4, on a, pour tout entier naturel n : $\boxed{v_n=4\times {\mathrm{0,7}}^n}$.

Comme u_n = 6 - v_n, on a donc

$\boxed{u_n=6-4\times {\mathrm{0,7}}^n}$.

c) Déterminer l’indice d’un terme vérifiant une condition donnée

On cherche n tel que u_n ≥ 5,5 :

$u_n\ge \text{5,5}\iff 6-4\times {\mathrm{0,7}}^n\ge \mathrm{5,5}\iff \text{4}\times {\mathrm{0,7}}^n\le \mathrm{0,5}$

$u_n\ge \text{5,5}\iff {\mathrm{0,7}}^n\le \mathrm{0,125}\iff n\ln (\mathrm{0,7})\le \text{ln}(\mathrm{0,125})$

car la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[.

$\ln (\mathrm{0,7})<0$ car 0 < 0,7 < 1, donc :

$u_n\ge \text{5,5}\iff n\ge \frac{\text{ln}(\mathrm{0,125})}{\text{ln}(\mathrm{0,7})}$.

Or $\frac{\text{ln}(\mathrm{0,125})}{\text{ln}(\mathrm{0,7})}\approx \mathrm{5,83}$ et n est entier, donc u_n ≥ 5,5 ⇔ n ≥ 6.

C’est donc après l’injection de la 6^e heure que la quantité de médicament dans le sang du patient dépassera pour la première fois 5,5 mg. Il faudra donc 6 injections de 1,8 mg, en plus de l’injection initiale. Pour que la quantité de médicament atteigne 5,5 mg il faut donc 7 injections.