▶ 1. Montrer que deux droites sont parallèles

(LM) est la droite d'intersection du plan (BDL) et du plan (EFG), (BD) est la droite d'intersection du plan (BDL) et du plan (ABC) et les plans (EFG) et (ABC) sont parallèles (propriété du cube).

Or on sait que si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles (théorème d'incidence) ; ici le plan (BDL) coupe les deux plans parallèles (EFG) et (ABC), donc les droites d'intersection $(\text{LM})$ et $(\text{BD})$ sont parallèles.

▶ 2. Montrer que deux droites sont sécantes

Les droites (AE) et (BL) sont coplanaires, car toutes deux contenues dans le plan (ABE). Elles ne sont pas parallèles : (BL) n'est pas parallèle à (BF) car L ∉(BF), donc (BL) n'est pas parallèle à (AE).

Or deux droites coplanaires et non parallèles sont nécessairement sécantes ; $(\text{AE})$ et $(\text{BL})$ sont sécantes, on appelle S leur point d'intersection.

▶ 3. a) Établir deux relations vectorielles

On sait que $\overrightarrow{\text{EL}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{EF}}$, on a donc aussi $\overrightarrow{\text{EL}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB}}$. De plus, E ∈(SA) et L ∈(SB). Les droites (LE) et (AB) sont parallèles, on applique le théorème de Thalès au triangle SAB dans le plan (ABE).

On en déduit : $\overrightarrow{\text{SE}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{SA}}$.

De même, on applique le théorème de Thalès au triangle SAD, avec les droites parallèles (EM) et (AD). Sachant que $\overrightarrow{\text{SE}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{SA}}$, on en déduit $\overrightarrow{\text{EM}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{AD}}$.

b) Montrer que trois points sont alignés

D'après la relation de Chasles $\overrightarrow{\text{SM}}=\overrightarrow{\text{SE}}+\overrightarrow{\text{EM}}$, donc, d'après les deux égalités prouvées à la question précédente, on a successivement :

$\overrightarrow{\text{SM}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{SA}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{AD}}$

$\overrightarrow{\text{SM}}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{\text{SA}}+\overrightarrow{\text{AD}}\right)$

$\overrightarrow{\text{SM}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{SD}}$.

On en déduit que les vecteurs $\overrightarrow{\text{SM}}$ et $\overrightarrow{\text{SD}}$ sont colinéaires, donc que les points $\text{S}$, $\text{M}$ et D sont alignés.

▶ 4. a) Calculer un produit scalaire

D'après la relation de Chasles $\overrightarrow{\text{LS}}=\overrightarrow{\text{LE}}+\overrightarrow{\text{ES}}$, donc :

$\overrightarrow{\text{LE}}\cdot \overrightarrow{\text{LS}}=\overrightarrow{\text{LE}}\cdot \left(\overrightarrow{\text{LE}}+\overrightarrow{\text{ES}}\right)$

$\overrightarrow{\text{LE}}\cdot \overrightarrow{\text{LS}}={\text{LE}}^2+\overrightarrow{\text{LE}}\cdot \overrightarrow{\text{ES}}$.

Or $\text{LE}=\frac{1}{3}$, et les vecteurs $\overrightarrow{\text{LE}}$ et $\overrightarrow{\text{ES}}$ sont orthogonaux, donc $\overrightarrow{\text{LE}}\cdot \overrightarrow{\text{ES}}=0$. Donc $\overrightarrow{\text{LE}}\cdot \overrightarrow{\text{LS}}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2$, soit $\overrightarrow{\text{LE}}\cdot \overrightarrow{\text{LS}}=\frac{1}{9}$.

b) Déterminer une valeur approchée de la mesure d'un angle

On a aussi $\overrightarrow{\text{LE}}\cdot \overrightarrow{\text{LS}}=\text{LE}\times \text{LS}\times \cos \widehat{\text{ELS}}$.

Or $\text{LE}=\frac{1}{3}$ et $\overrightarrow{\text{SE}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{SA}}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{\text{SE}}+\overrightarrow{\text{EA}}\right)$, soit $\overrightarrow{\text{SE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{SA}}$ et $\text{ES}=\frac{1}{2}$.

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle LES rectangle en E : ${\text{LS}}^2={\text{LE}}^2+{\text{ES}}^2=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}=\frac{13}{36}$, donc $\text{LS}=\frac{\sqrt[]{13}}{6}$.

Donc $\overrightarrow{\text{LE}}\cdot \overrightarrow{\text{LS}}=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt[]{13}}{6}\times \cos \widehat{\text{ELS}}=\frac{\sqrt[]{13}}{18}\cos \widehat{\text{ELS}}$ et $\overrightarrow{\text{LE}}\cdot \overrightarrow{\text{LS}}=\frac{1}{9}$, d'où : $\cos \widehat{\text{ELS}}=\frac{2}{\sqrt[]{13}}$.

D'après la calculatrice : $\widehat{\text{ELS}}=\mathrm{56,3}°$ au dixième de degré près.

▶ 5. a) Calculer le volume d'un tétraèdre

Le volume du tétraèdre SELM est $\mathcal{V}=\frac{1}{3}\mathcal{B}\times h$, où B est l'aire de l'une des bases du tétraèdre et h la hauteur correspondante.

On prend pour base le triangle ELM, rectangle et isocèle en E.

$\text{EL}=\text{EM}=\frac{1}{3}$, donc l'aire du triangle ELM est $\mathcal{B}=\frac{1}{2}\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2$, soit $\mathcal{B}=\frac{1}{18}$. La hauteur est $h=\text{SE}=\frac{1}{2}$.

D'où $\mathcal{V}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{18}\times \frac{1}{2}$, soit $\mathcal{V}=\frac{1}{108}$.

b) Calculer le volume d'un solide

Le volume total de la sculpture est la somme du volume du cube ABCDEFGH et du volume du tétraèdre SELM.

Les arêtes du cube ABCDEFGH sont de longueur 1, donc le volume de ce cube est 1 et le volume total de la sculpture est $1+\frac{1}{108}$, soit $\frac{109}{108}$.

▶ 6. a) Calculer l'aire d'un triangle

SL = SM, le triangle SLM est isocèle.

Si on appelle I le milieu de [LM], (SI) est la médiatrice de [LM] et l'aire $\mathcal{A}$ du triangle SLM est le double de celle du triangle SIL, soit :

$\mathcal{A}=2\times \frac{\text{LI}\times \text{SI}}{2}=\text{LI}\times \text{SI}$. On a $\text{LI}=\frac{1}{2}\text{LM}$ et $\text{LM}=\frac{1}{3}\text{BD}=\frac{\sqrt[]{2}}{3}$, donc $\text{LI}=\frac{\sqrt[]{2}}{6}$.

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle SIL rectangle en I : ${\text{SI}}^2={\text{SL}}^2-{\text{LI}}^2.$

On a vu que ${\text{SL}}^2=\frac{13}{36}$, d'où ${\text{SI}}^2=\frac{13}{36}-\frac{2}{36}=\frac{11}{36}$ et $\text{SI}=\frac{\sqrt[]{11}}{6}$.

On en déduit l'aire $\mathcal{A}$ du triangle SLM : $\mathcal{A}=\text{LI}\times \text{SI}=\frac{\sqrt[]{2}}{6}\times \frac{\sqrt[]{11}}{6}$.

L'aire du triangle SLM est donc $\mathcal{A}=\frac{\sqrt[]{22}}{36}$.

b) Calculer l'aire totale d'un solide

On doit calculer et additionner :

les aires de 5 faces du cube ABCDEFGH ;

l'aire du pentagone FGHML ;

les aires des triangles rectangles SEL et SEM ;

l'aire du triangle SLM.

Chacune des faces du cube a une aire égale à 1.

On a vu à la question 5. a) que l'aire du triangle ELM est $\frac{1}{18}$, donc l'aire du pentagone FGHML est $1-\frac{1}{18}$, soit $\frac{17}{18}$.

On a vu également que $\text{EL}=\text{EM}=\frac{1}{3}$ et que $\text{ES}=\frac{1}{2}$, donc l'aire de chacun des deux triangles rectangles (identiques) SEL et SEM est $\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{12}$.

L'aire totale de la sculpture est donc $5+\frac{17}{18}+\frac{1}{6}+\frac{\sqrt[]{22}}{36}$, soit :

$\frac{180+34+6+\sqrt[]{22}}{36}=$ $\frac{220+\sqrt[]{22}}{36}$.