ALGÈBRE • GÉOMÉTRIE
Orthogonalité et distances dans l’espace
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matT_2000_00_57C
Orthogonalité et distances dans l’espace
Deux solides pour une sculpture
INTÉRÊT DU SUJET • En utilisant le calcul vectoriel et le produit scalaire, on calcule le volume et l’aire d’une forme composée.
Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d’un tétraèdre posé sur un cube.
Ces deux solides sont représentés par le cube ABCDEFGH et par le tétraèdre SELM ci-dessous.
L est le point du segment [EF] tel que .
M est le point d’intersection du plan (BDL) et de la droite (EH).
▶ 1. Montrer que les droites (LM) et (BD) sont parallèles.
▶ 2. Montrer que les droites (AE) et (BL) sont sécantes.
On appelle S leur point d’intersection.
▶ 3. a) Montrer que , puis que .
b) En déduire que S, M et D sont alignés.
Dans la suite de l’exercice, on suppose que la longueur des arêtes du cube ABCDEFGH est égale à 1.
▶ 4. a) Montrer que .
b) En déduire une valeur approchée au dixième de degré près de la mesure en degrés de l’angle .
▶ 5. a) Calculer le volume du tétraèdre SELM.
b) En déduire le volume total de la sculpture.
▶ 6. a) Calculer l’aire du triangle SLM.
b) Calculer l’aire totale de la sculpture.
Les clés du sujet
▶ 1. Considérez chacune des deux droites (LM) et (BD) comme intersection du plan (BDL) avec un autre plan.
▶ 2. Montrez que les droites (AE) et (BL) sont coplanaires et non parallèles.
▶ 3. a) Utilisez à deux reprises le théorème de Thalès.
b) Utilisez la relation de Chasles pour montrer que deux vecteurs sont colinéaires.
▶ 4. a) Décomposez le vecteur à l’aide de la relation de Chasles, puis utilisez une propriété du produit scalaire.
b) Utilisez une expression du produit scalaire.
▶ 5. a) On rappelle que le volume d’un tétraèdre est , où B est l’aire de l’une des bases et h la hauteur correspondante.
b) Additionnez le volume du tétraèdre et celui du cube.
▶ 6. a) SL = SM, le triangle SLM est isocèle.
