Terminale générale Mathématiques Orthogonalité et distances dans l’espace

ALGÈBRE • GÉOMÉTRIE

Orthogonalité et distances dans l'espace

matT_2000_00_57C

Orthogonalité et distances dans l'espace

Deux solides pour une sculpture

1 heure

6 points

INTÉRÊT DU SUJET • En utilisant le calcul vectoriel et le produit scalaire, on calcule le volume et l'aire d'une forme composée.

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Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d'un tétraèdre posé sur un cube.

Ces deux solides sont représentés par le cube ABCDEFGH et par le tétraèdre SELM ci-dessous.

L est le point du segment [EF] tel que $\vec{EL} = \frac{1}{3} \vec{EF}$ .

M est le point d'intersection du plan (BDL) et de la droite (EH).

▶ 1. Montrer que les droites (LM) et (BD) sont parallèles.

▶ 2. Montrer que les droites (AE) et (BL) sont sécantes.

On appelle S leur point d'intersection.

▶ 3. a) Montrer que $\vec{SE} = \frac{1}{3} \vec{SA}$ , puis que $\vec{EM} = \frac{1}{3} \vec{AD}$ .

b) En déduire que S, M et D sont alignés.

Dans la suite de l'exercice, on suppose que la longueur des arêtes du cube ABCDEFGH est égale à 1.

▶ 4. a) Montrer que $\vec{LE} \cdot \vec{LS} = \frac{1}{9}$ .

b) En déduire une valeur approchée au dixième de degré près de la mesure en degrés de l'angle $\hat{ELS}$ .

▶ 5. a) Calculer le volume du tétraèdre SELM.

b) En déduire le volume total de la sculpture.

▶ 6. a) Calculer l'aire du triangle SLM.

b) Calculer l'aire totale de la sculpture.

Les clés du sujet

▶ 1. Considérez chacune des deux droites (LM) et (BD) comme intersection du plan (BDL) avec un autre plan.

▶ 2. Montrez que les droites (AE) et (BL) sont coplanaires et non parallèles.

▶ 3. a) Utilisez à deux reprises le théorème de Thalès.

b) Utilisez la relation de Chasles pour montrer que deux vecteurs sont colinéaires.

▶ 4. a) Décomposez le vecteur $\vec{LS}$ à l'aide de la relation de Chasles, puis utilisez une propriété du produit scalaire.

b) Utilisez une expression du produit scalaire.

▶ 5. a) On rappelle que le volume d'un tétraèdre est $V = \frac{1}{3} B \times h$ , où B est l'aire de l'une des bases et h la hauteur correspondante.

b) Additionnez le volume du tétraèdre et celui du cube.

▶ 6. a) SL = SM, le triangle SLM est isocèle.

▶ 1. Montrer que deux droites sont parallèles

(LM) est la droite d'intersection du plan (BDL) et du plan (EFG), (BD) est la droite d'intersection du plan (BDL) et du plan (ABC) et les plans (EFG) et (ABC) sont parallèles (propriété du cube).

Or on sait que si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles (théorème d'incidence) ; ici le plan (BDL) coupe les deux plans parallèles (EFG) et (ABC), donc les droites d'intersection $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.

▶ 2. Montrer que deux droites sont sécantes

Les droites (AE) et (BL) sont coplanaires, car toutes deux contenues dans le plan (ABE). Elles ne sont pas parallèles : (BL) n'est pas parallèle à (BF) car L ∉(BF), donc (BL) n'est pas parallèle à (AE).

Or deux droites coplanaires et non parallèles sont nécessairement sécantes ; $(AE)$ et $(BL)$ sont sécantes, on appelle S leur point d'intersection.

▶ 3. a) Établir deux relations vectorielles

On sait que $\vec{EL} = \frac{1}{3} \vec{EF}$ , on a donc aussi $\vec{EL} = \frac{1}{3} \vec{AB}$ . De plus, E ∈(SA) et L ∈(SB). Les droites (LE) et (AB) sont parallèles, on applique le théorème de Thalès au triangle SAB dans le plan (ABE).

à noter

On a aussi $\vec{SL} = \frac{1}{3} \vec{SB}$ .

On en déduit : $\vec{SE} = \frac{1}{3} \vec{SA}$ .

De même, on applique le théorème de Thalès au triangle SAD, avec les droites parallèles (EM) et (AD). Sachant que $\vec{SE} = \frac{1}{3} \vec{SA}$ , on en déduit $\vec{EM} = \frac{1}{3} \vec{AD}$ .

b) Montrer que trois points sont alignés

D'après la relation de Chasles $\vec{SM} = \vec{SE} + \vec{EM}$ , donc, d'après les deux égalités prouvées à la question précédente, on a successivement :

$\vec{SM} = \frac{1}{3} \vec{SA} + \frac{1}{3} \vec{AD}$

$\vec{SM} = \frac{1}{3} (\vec{SA} + \vec{AD})$

$\vec{SM} = \frac{1}{3} \vec{SD}$ .

On en déduit que les vecteurs $\vec{SM}$ et $\vec{SD}$ sont colinéaires, donc que les points $S$ , $M$ et D sont alignés.

▶ 4. a) Calculer un produit scalaire

D'après la relation de Chasles $\vec{LS} = \vec{LE} + \vec{ES}$ , donc :

$\vec{LE} \cdot \vec{LS} = \vec{LE} \cdot (\vec{LE} + \vec{ES})$

$\vec{LE} \cdot \vec{LS} = {LE}^{2} + \vec{LE} \cdot \vec{ES}$ .

Or $LE = \frac{1}{3}$ , et les vecteurs $\vec{LE}$ et $\vec{ES}$ sont orthogonaux, donc $\vec{LE} \cdot \vec{ES} = 0$ . Donc $\vec{LE} \cdot \vec{LS} = {(\frac{1}{3})}^{2}$ , soit $\vec{LE} \cdot \vec{LS} = \frac{1}{9}$ .

b) Déterminer une valeur approchée de la mesure d'un angle

On a aussi $\vec{LE} \cdot \vec{LS} = LE \times LS \times \cos \hat{ELS}$ .

Or $LE = \frac{1}{3}$ et $\vec{SE} = \frac{1}{3} \vec{SA} = \frac{1}{3} (\vec{SE} + \vec{EA})$ , soit $\vec{SE} = \frac{1}{2} \vec{SA}$ et $ES = \frac{1}{2}$ .

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle LES rectangle en E : ${LS}^{2} = {LE}^{2} + {ES}^{2} = \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{13}{36}$ , donc $LS = \frac{\sqrt[]{13}}{6}$ .

Donc $\vec{LE} \cdot \vec{LS} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt[]{13}}{6} \times \cos \hat{ELS} = \frac{\sqrt[]{13}}{18} \cos \hat{ELS}$ et $\vec{LE} \cdot \vec{LS} = \frac{1}{9}$ , d'où : $\cos \hat{ELS} = \frac{2}{\sqrt[]{13}}$ .

D'après la calculatrice : $\hat{ELS} = 56,3 °$ au dixième de degré près.

Le conseil de méthode

On pouvait aussi utiliser des relations trigonométriques dans le triangle SEL rectangle en E.

▶ 5. a) Calculer le volume d'un tétraèdre

Le volume du tétraèdre SELM est $V = \frac{1}{3} B \times h$ , où B est l'aire de l'une des bases du tétraèdre et h la hauteur correspondante.

On prend pour base le triangle ELM, rectangle et isocèle en E.

$EL = EM = \frac{1}{3}$ , donc l'aire du triangle ELM est $B = \frac{1}{2} \times {(\frac{1}{3})}^{2}$ , soit $B = \frac{1}{18}$ . La hauteur est $h = SE = \frac{1}{2}$ .

D'où $V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{18} \times \frac{1}{2}$ , soit $V = \frac{1}{108}$ .

b) Calculer le volume d'un solide

Le volume total de la sculpture est la somme du volume du cube ABCDEFGH et du volume du tétraèdre SELM.

Les arêtes du cube ABCDEFGH sont de longueur 1, donc le volume de ce cube est 1 et le volume total de la sculpture est $1 + \frac{1}{108}$ , soit $\frac{109}{108}$ .

▶ 6. a) Calculer l'aire d'un triangle

SL = SM, le triangle SLM est isocèle.

Si on appelle I le milieu de [LM], (SI) est la médiatrice de [LM] et l'aire $A$ du triangle SLM est le double de celle du triangle SIL, soit :

à noter

Dans un carré de côté 1, la longueur de la diagonale est $\sqrt{2}$ .

$A = 2 \times \frac{LI \times SI}{2} = LI \times SI$ . On a $LI = \frac{1}{2} LM$ et $LM = \frac{1}{3} BD = \frac{\sqrt[]{2}}{3}$ , donc $LI = \frac{\sqrt[]{2}}{6}$ .

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle SIL rectangle en I : ${SI}^{2} = {SL}^{2} - {LI}^{2} .$

On a vu que ${SL}^{2} = \frac{13}{36}$ , d'où ${SI}^{2} = \frac{13}{36} - \frac{2}{36} = \frac{11}{36}$ et $SI = \frac{\sqrt[]{11}}{6}$ .

On en déduit l'aire $A$ du triangle SLM : $A = LI \times SI = \frac{\sqrt[]{2}}{6} \times \frac{\sqrt[]{11}}{6}$ .

L'aire du triangle SLM est donc $A = \frac{\sqrt[]{22}}{36}$ .

b) Calculer l'aire totale d'un solide

On doit calculer et additionner :

les aires de 5 faces du cube ABCDEFGH ;

l'aire du pentagone FGHML ;

les aires des triangles rectangles SEL et SEM ;

l'aire du triangle SLM.

Chacune des faces du cube a une aire égale à 1.

On a vu à la question 5. a) que l'aire du triangle ELM est $\frac{1}{18}$ , donc l'aire du pentagone FGHML est $1 - \frac{1}{18}$ , soit $\frac{17}{18}$ .

On a vu également que $EL = EM = \frac{1}{3}$ et que $ES = \frac{1}{2}$ , donc l'aire de chacun des deux triangles rectangles (identiques) SEL et SEM est $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$ .

à noter

Les longueurs sont exprimées en unités de longueur, les aires en unités d'aire, les volumes en unités de volume.

L'aire totale de la sculpture est donc $5 + \frac{17}{18} + \frac{1}{6} + \frac{\sqrt[]{22}}{36}$ , soit :

$\frac{180 + 34 + 6 + \sqrt[]{22}}{36} =$ $\frac{220 + \sqrt[]{22}}{36}$ .

Deux solides pour une sculpture

Les clés du sujet

▶ 1. Montrer que deux droites sont parallèles

▶ 2. Montrer que deux droites sont sécantes

▶ 3. a) Établir deux relations vectorielles

à noter

b) Montrer que trois points sont alignés

▶ 4. a) Calculer un produit scalaire

b) Déterminer une valeur approchée de la mesure d'un angle

Le conseil de méthode

▶ 5. a) Calculer le volume d'un tétraèdre

b) Calculer le volume d'un solide

▶ 6. a) Calculer l'aire d'un triangle

à noter

b) Calculer l'aire totale d'un solide

à noter

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