matT_2505_02_01C

Amérique du Nord, mai 2025 • Jour 1

Sprint final

Amérique du Nord, mai 2025 • Jour 1

Exercice 2

Deux suites, deux limites et un algorithme

55 min

5 points

Intérêt du sujet • Dans cet exercice, l’introduction d’une suite auxiliaire (a_n) permet d’étudier la convergence d’une suite (u_n). Un programme en langage Python donnant une valeur seuil pour cette suite doit ensuite être interprété.

On considère la suite numérique (u_n) définie par son premier terme u₀ = 2 et pour tout entier naturel n, par :

$u_{n + 1} = \frac{2 u_{n} + 1}{u_{n} + 2}$

On admet que la suite (u_n) est bien définie.

▶ 1. Calculer le terme u₁.

▶ 2. On définit la suite (a_n) pour tout entier naturel n, par :

$a_{n} = \frac{u_{n}}{u_{n} - 1}$

On admet que la suite (a_n) est bien définie.

a) Calculer a₀ et a₁.

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, a_n₊₁ = 3a_n - 1.

c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, a_n ≥ 3n − 1.

d) En déduire la limite de la suite (a_n).

▶ 3. On souhaite étudier la limite de la suite (u_n).

a) Démontrer que pour tout entier naturel n, $u_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n} - 1}$ .

b) En déduire la limite de la suite (u_n).

▶ 4. On admet que la suite (u_n) est décroissante.

On considère le programme suivant écrit en langage Python :

a) Interpréter les valeurs n et u renvoyées par l’appel de la fonction algo(p) dans le contexte de l’exercice.

b) Donner, sans justifier, la valeur de n pour p = 0,001.

Les clés du sujet

▶ 2. c) Utilisez l’inégalité de la question précédente.

d) Utilisez le résultat de la question précédente et un théorème de comparaison.

▶ 3. b) Transformez l’expression trouvée à la question 3. a) pour pouvoir déterminer la limite de la suite (u_n).

▶ 4. b) Utilisez la calculatrice.

▶ 1. Calculer un terme d’une suite

$u_{1} = \frac{2 u_{0} + 1}{u_{0} + 2} = \frac{2 \times 2 + 1}{2 + 2}$ , donc $u_{1} = \frac{5}{4}$ .

▶ 2. a) Calculer deux termes d’une suite

$a_{0} = \frac{u_{0}}{u_{0} - 1}$ , donc a₀ = 2. $a_{1} = \frac{u_{1}}{u_{1} - 1} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{4} - 1} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}}$ , donc a₁ = 5.

b) Établir une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

à noter

Dans ce quotient, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par u_n + 2.

Pour tout entier naturel n :

$a_{n + 1} = \frac{u_{n + 1}}{u_{n + 1} - 1}$ ; $a_{n + 1} = \frac{\frac{2 u_{n} + 1}{u_{n} + 2}}{\frac{2 u_{n} + 1}{u_{n} + 2} - 1}$

$a_{n + 1} = \frac{2 u_{n} + 1}{2 u_{n} + 1 - u_{n} - 2}$ ; $a_{n + 1} = \frac{2 u_{n} + 1}{u_{n} - 1}$ .

D’autre part, pour tout entier naturel n, $3 a_{n} - 1 = 3 \frac{u_{n}}{u_{n} - 1} - 1$

$3 a_{n} - 1 = 3 \frac{u_{n}}{u_{n} - 1} - \frac{u_{n} - 1}{u_{n} - 1}$

$3 a_{n} - 1 = \frac{2 u_{n} + 1}{u_{n} - 1}$ .

Des deux calculs précédents, on déduit que, pour tout entier naturel n : a_n₊₁ = 3a_n - 1.

c) Prouver une inégalité par récurrence

► Le conseil de méthode

Pour comparer deux nombres, on étudie le signe de leur différence.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n ≥ 1, a_n ≥ 3n - 1.

Initialisation

a₁ = 5 et 3 × 1 - 1 = 2, donc a₁ ≥ 3 × 1 - 1 ; la propriété est vraie pour n = 1.

Hérédité

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1 tel que a_n ≥ 3n - 1.

Alors $a_{n + 1} \geq 3 (3 n - 1) - 1$ , soit a_n₊₁ ≥ 9n - 4.

$3 (n + 1) - 1 = 3 n + 2$

$(9 n - 4) - (3 n + 2) = 6 n - 6 = 6 (n - 1)$ .

Donc $(9 n - 4) - (3 n + 2) \geq 0$ , c’est-à-dire 9n - 4 ≥ 3n + 2, dès que n ≥ 1.

Puisque a_n₊₁ ≥ 9n - 4 et 9n - 4 ≥ 3n + 2, on a a_n₊₁ ≥ 3n + 2, c’est-à-dire $a_{n + 1} \geq 3 (n + 1) - 1$ .

La propriété est vraie pour n + 1 si elle est vraie pour n ; elle est héréditaire.

Conclusion

Puisqu’elle est vraie pour n = 1 et héréditaire, la propriété a_n ≥ 3n - 1 est vraie pour tout entier naturel n ≥ 1.

d) Déterminer la limite d’une suite

$\lim_{n \to + \infty} (3 n - 1) = + \infty$ , donc d’après la question précédente, par comparaison $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = + \infty$ .

▶ 3. a) Prouver une relation entre les termes de deux suites

Pour tout entier naturel n, $a_{n} = \frac{u_{n}}{u_{n} - 1}$ , donc $a_{n} (u_{n} - 1) = u_{n}$ ;

a_nu_n - a_n = u_n ; a_nu_n - u_n = a_n, donc $u_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n} - 1}$ .

b) Déterminer la limite d’une suite

à noter

On ne peut pas déterminer directement la limite de la suite (u_n) à partir de celle de la suite (a_n) et de la relation $u_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n} - 1}$ , on est dans un cas d’indétermination.

Pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} u_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n} - 1} = \frac{a_{n} - 1 + 1}{a_{n} - 1} \\ = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} - 1} + \frac{1}{a_{n} - 1} = 1 + \frac{1}{a_{n} - 1} . \end{matrix}$

Or $\lim_{n \to + ∞} a_{n} = + ∞$ , donc par opérations $\lim_{n \to + ∞} \frac{1}{a_{n} - 1} = 0$ et $\lim_{n \to + ∞} u_{n} = 1$ .

▶ 4. a) Interpréter les valeurs renvoyées par un programme Python

Dans le programme donné, la boucle « While » est une boucle avec arrêt conditionnel. Le programme calcule les valeurs successives de u_n tant que u_n - 1 > p.

La valeur de n renvoyée par l’appel de la fonction est donc la plus petite valeur de n telle que u_n - 1 ≤ p ; la valeur de u renvoyée est la valeur de u_n correspondante.

b) Donner une valeur renvoyée par un programme Python

Pour p = 0,001, la valeur de n renvoyée est le plus petit entier naturel n tel que u_n - 1 ≤ 0,001, c’est-à-dire u_n ≤ 1,001. Cette valeur est 6.

Deux suites, deux limites et un algorithme

Les clés du sujet

▶ 1. Calculer un terme d’une suite

▶ 2. a) Calculer deux termes d’une suite

b) Établir une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

à noter

c) Prouver une inégalité par récurrence

► Le conseil de méthode

d) Déterminer la limite d’une suite

▶ 3. a) Prouver une relation entre les termes de deux suites

b) Déterminer la limite d’une suite

à noter

▶ 4. a) Interpréter les valeurs renvoyées par un programme Python

b) Donner une valeur renvoyée par un programme Python

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