Annale corrigée Exercice

Deux suites, un quotient, un algorithme

Sujet spécimen 2021 n° 2 • Exercice 2

Deux suites, un quotient, un algorithme

1 h 10

6 points

Intérêt du sujet • Les deux suites considérées dans cet exercice sont des suites imbriquées : on calcule un terme de l'une de ces suites à partir des termes précédents des deux suites. On étudie ensuite la suite de terme général le quotient des termes généraux des deux suites.

 

Exercice commun à tous les candidats

On considère les suites (un) et (vn) définies pour tout entier naturel n par :

u0=v0=1un+1=un+vnvn+1=2un+vn

Dans toute la suite de l'exercice, on admet que les suites (un) et (vn) sont strictement positives.

1. a) Calculer u1 et v1.

b) Démontrer que la suite (vn) est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel n, vn ≥ 1.

c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a un ≥ n + 1.

d) En déduire la limite de la suite (un).

2. On pose, pour tout entier naturel n :

rn=vnun.

On admet que :

rn2=2+(1)n+1un².

a) Démontrer que pour tout entier naturel n :

1un2(1)n+1un21un2.

b) En déduire : limn+(1)n+1un² .

c) Déterminer la limite de la suite (rn2) et en déduire que (rn) converge vers 2.

d) Démontrer que pour tout entier naturel n : rn+1=+ rn+ rn .

e) On considère le programme suivant écrit en langage Python :

065_matT_2100_07_06C_Groupe_Schema_0

(abs désigne la valeur absolue, sqrt la racine carrée et 10**(– 4) représente 104.) La valeur de n renvoyée par ce programme est 5.

À quoi correspond-elle ?

 

Les clés du sujet

1. b) Étudiez le signe de vn+1 - vn.

d) Utilisez le résultat de la question précédente ainsi qu'un théorème de comparaison.

2. b) Utilisez le théorème des gendarmes.

c) N'oubliez pas que, pour tout entier naturel n, un > 0 et vn > 0.

1. a) Calculer des termes de deux suites

u1 = u0v0, donc u1=2. v1 = 2u0v0, donc v1=3.

b) Étudier le sens de variation d'une suite

Pour tout entier naturel n, vn+1 - vn = 2un, or d'après l'énoncé 2un > 0, donc vn+1 - vn > 0. La suite (vn) est strictement croissante.

On en déduit que, pour tout entier naturel n, vn ≥ v0, c'est-à-dire vn1.

c) Établir une inégalité concernant une suite

Initialisation

Pour n = 0, u0 = 1, donc u0 ≥ 0 + 1.

La propriété est vraie pour n = 0.

Hérédité

Soit n un entier naturel tel que un ≥ n + 1 (hypothèse de récurrence).

On a aussi vn ≥ 1 d'après la question précédente, donc

unvn ≥ n + 1 + 1

soit :

un+1 ≥ n + 1 + 1.

La propriété est vraie pour n + 1 si elle est vraie pour n.

Conclusion

La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n ∈ ℕ. Pour tout entier naturel n, unn + 1.

d) Déterminer la limite d'une suite

limn+(n+1)=+ donc par comparaison :

limn+un=+

2. a) Établir un encadrement

Soit n un entier naturel. (1)n+1=1 si n est impair et (1)n+1=1 si n est pair.

Dans tous les cas : 1(1)n+11.

En divisant cette inégalité par un2, sachant que un2>0, on en déduit :

1un2(1)n+1un21un2.

b) Déterminer la limite d'une suite

remarque

On a encadré (1)n+1un2 par les termes généraux de deux suites convergentes de même limite.

On a vu à la question 1. d) que limn+un=+ ; on en déduit que :

limn+1un2=0 et limn+1un2=0.

D'après le théorème des gendarmes :

limn+(1)n+1un2=0

c) Déterminer la limite d'une suite

On sait que, pour tout entier naturel n :

rn2=2+(1)n+1un².

D'après la question précédente, limn+rn2=2.

Or, pour tout entier naturel n, rn=vnun, un > 0, vn > 0, donc rn > 0.

Donc :

limn+rn=2

Le piège à éviter

Il est indispensable ici de vérifier que rn > 0 pour tout n, car il existe deux nombres réels de signes opposés dont le carré est égal à 2 : 2 et 2.

d) Établir une relation entre deux termes successifs d'une suite

Pour tout entier naturel n, rn+1=vn+1un+1, soit rn+1=2un+vnun+vn.

On divise le numérateur et le dénominateur par un, on a alors :

rn+1=2+vnun1+vnun et donc rn+1=2+rn1+rn.

e) Interpréter la valeur renvoyée par un programme

remarque

Ce programme est un algorithme de seuil. On a montré à la question 2. c) que la suite (rn) converge vers 2. On peut donc en déduire que, pour n suffisamment grand, rn2104.

La valeur renvoyée par le programme est le plus petit entier n tel que rn2104 car le programme s'arrête dès que rn2104.

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