Terminale générale Mathématiques Suites

SPRINT FINAL

Sujet complet 2 • Exercice 2

matT_2100_07_06C

Sujet spécimen 2021 n° 2 • Exercice 2

Deux suites, un quotient, un algorithme

1 h 10

6 points

Intérêt du sujet • Les deux suites considérées dans cet exercice sont des suites imbriquées : on calcule un terme de l'une de ces suites à partir des termes précédents des deux suites. On étudie ensuite la suite de terme général le quotient des termes généraux des deux suites.

Exercice commun à tous les candidats

On considère les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies pour tout entier naturel n par :

$\{\begin{matrix} u_{0} = v_{0} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + v_{n} \\ v_{n + 1} = 2 u_{n} + v_{n} \end{matrix}$

Dans toute la suite de l'exercice, on admet que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont strictement positives.

▶ 1. a) Calculer u₁ et v₁.

b) Démontrer que la suite $(v_{n})$ est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel n, v_n ≥ 1.

c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a u_n ≥ n + 1.

d) En déduire la limite de la suite $(u_{n})$ .

▶ 2. On pose, pour tout entier naturel n :

$r_{n} = \frac{v_{n}}{u_{n}}$ .

On admet que :

$r_{n}^{2} = 2 + \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{u_{n} ²}$ .

a) Démontrer que pour tout entier naturel n :

$- \frac{1}{u_{n}^{2}} \leq \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{u_{n}^{2}} \leq \frac{1}{u_{n}^{2}}$ .

b) En déduire : $\lim_{n \to + ∞} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{u_{n} ²}$ .

c) Déterminer la limite de la suite $(r_{n}^{2})$ et en déduire que $(r_{n})$ converge vers $\sqrt[]{2}$ .

d) Démontrer que pour tout entier naturel n : $r_{n + 1} = \frac{2 + r_{n}}{1 + r_{n}} .$

e) On considère le programme suivant écrit en langage Python :

(abs désigne la valeur absolue, sqrt la racine carrée et 10**(– 4) représente $10^{- 4}$ .) La valeur de n renvoyée par ce programme est 5.

À quoi correspond-elle ?

Les clés du sujet

▶ 1. b) Étudiez le signe de v_n₊₁ - v_n.

d) Utilisez le résultat de la question précédente ainsi qu'un théorème de comparaison.

▶ 2. b) Utilisez le théorème des gendarmes.

c) N'oubliez pas que, pour tout entier naturel n, u_n > 0 et v_n > 0.

▶ 1. a) Calculer des termes de deux suites

u₁ = u₀ + v₀, donc $u_{1} = 2$ . v₁ = 2u₀ + v₀, donc $v_{1} = 3$ .

b) Étudier le sens de variation d'une suite

Pour tout entier naturel n, v_n₊₁ - v_n = 2u_n, or d'après l'énoncé 2u_n > 0, donc v_n₊₁ - v_n > 0. La suite $(v_{n})$ est strictement croissante.

On en déduit que, pour tout entier naturel n, v_n ≥ v₀, c'est-à-dire $v_{n} \geq 1$ .

c) Établir une inégalité concernant une suite

Initialisation

Pour n = 0, u₀ = 1, donc u₀ ≥ 0 + 1.

La propriété est vraie pour n = 0.

Hérédité

Soit n un entier naturel tel que u_n ≥ n + 1 (hypothèse de récurrence).

On a aussi v_n ≥ 1 d'après la question précédente, donc

u_n + v_n ≥ n + 1 + 1

soit :

u_n₊₁ ≥ n + 1 + 1.

La propriété est vraie pour n + 1 si elle est vraie pour n.

Conclusion

La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n ∈ ℕ. Pour tout entier naturel n, u_n ≥ n + 1.

d) Déterminer la limite d'une suite

$\lim_{n \to + \infty} (n + 1) = + \infty$ donc par comparaison :

$\lim_{n \to + ∞} u_{n} = + ∞$

▶ 2. a) Établir un encadrement

Soit n un entier naturel. ${(- 1)}^{n + 1} = 1$ si n est impair et ${(- 1)}^{n + 1} = - 1$ si n est pair.

Dans tous les cas : $- 1 \leq {(- 1)}^{n + 1} \leq 1$ .

En divisant cette inégalité par $u_{n}^{2}$ , sachant que $u_{n}^{2} > 0$ , on en déduit :

$- \frac{1}{u_{n}^{2}} \leq \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{u_{n}^{2}} \leq \frac{1}{u_{n}^{2}}$ .

b) Déterminer la limite d'une suite

remarque

On a encadré $\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{u_{n}^{2}}$ par les termes généraux de deux suites convergentes de même limite.

On a vu à la question 1. d) que $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ ; on en déduit que :

$\lim_{n \to + ∞} \frac{1}{u_{n}^{2}} = 0$ et $\lim_{n \to + ∞} (- \frac{1}{u_{n}^{2}}) = 0$ .

D'après le théorème des gendarmes :

$\lim_{n \to + ∞} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{u_{n}^{2}} = 0$

c) Déterminer la limite d'une suite

On sait que, pour tout entier naturel n :

$r_{n}^{2} = 2 + \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{u_{n} ²}$ .

D'après la question précédente, $\lim_{n \to + \infty} r_{n}^{2} = 2$ .

Or, pour tout entier naturel n, $r_{n} = \frac{v_{n}}{u_{n}}$ , u_n > 0, v_n > 0, donc r_n > 0.

Donc :

$\lim_{n \to + ∞} r_{n} = \sqrt[]{2}$

Le piège à éviter

Il est indispensable ici de vérifier que r_n > 0 pour tout n, car il existe deux nombres réels de signes opposés dont le carré est égal à 2 : $- \sqrt[]{2}$ et $\sqrt[]{2}$ .

d) Établir une relation entre deux termes successifs d'une suite

Pour tout entier naturel n, $r_{n + 1} = \frac{v_{n + 1}}{u_{n + 1}}$ , soit $r_{n + 1} = \frac{2 u_{n} + v_{n}}{u_{n} + v_{n}}$ .

On divise le numérateur et le dénominateur par u_n, on a alors :

$r_{n + 1} = \frac{2 + \frac{v_{n}}{u_{n}}}{1 + \frac{v_{n}}{u_{n}}}$ et donc $r_{n + 1} = \frac{2 + r_{n}}{1 + r_{n}}$ .

e) Interpréter la valeur renvoyée par un programme

remarque

Ce programme est un algorithme de seuil. On a montré à la question 2. c) que la suite (r_n) converge vers $\sqrt[]{2}$ . On peut donc en déduire que, pour n suffisamment grand, $|r_{n} - \sqrt[]{2}| \leq 10^{- 4}$ .

La valeur renvoyée par le programme est le plus petit entier $n$ tel que $|r_{n} - \sqrt[]{2}| \leq 10^{- 4}$ car le programme s'arrête dès que $|r_{n} - \sqrt[]{2}| \leq 10^{- 4}$ .

Deux suites, un quotient, un algorithme

Les clés du sujet

▶ 1. a) Calculer des termes de deux suites

b) Étudier le sens de variation d'une suite

c) Établir une inégalité concernant une suite

d) Déterminer la limite d'une suite

▶ 2. a) Établir un encadrement

b) Déterminer la limite d'une suite

remarque

c) Déterminer la limite d'une suite

Le piège à éviter

d) Établir une relation entre deux termes successifs d'une suite

e) Interpréter la valeur renvoyée par un programme

remarque

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