▶ 1. Donner les coordonnées de points de l’espace

Dans le repère $(\text{A};\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}})$, $\text{E}$ a pour coordonnées $(\text{0};\text{0};1)$.

$\overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AE}}$, donc $\text{F}$ a pour coordonnées $(\text{1};\text{0};1)$.

$\overrightarrow{\text{AG}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{AE}}$, donc $\text{G}$ a pour coordonnées $(\text{1};\text{1};1)$.

$\overrightarrow{\text{AK}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AD}}$, donc $\text{K}$ a pour coordonnées $\left(\text{1};\frac{1}{2};0\right)$.

▶ 2. Montrer qu’un vecteur est orthogonal à un plan

Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au plan (EGK) si et seulement s’il est orthogonal aux vecteurs directeurs de deux droites sécantes du plan (EGK).

Les droites (EG) et (EK) sont deux droites sécantes du plan (EGK).

Leurs vecteurs directeurs sont $\overrightarrow{\text{EG}}(\text{1};\text{1};0)$ et $\overrightarrow{\text{EK}}\left(\text{1};\frac{1}{2};-1\right)$.

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{EG}}=2-2=0$ et $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{EK}}=2-1-1=0$.

On en déduit que le vecteur $\overrightarrow{n}(\text{2};-\text{2};1)$ est orthogonal, ou normal, au plan (EGK).

▶ 3. Déterminer une équation cartésienne d’un plan

Puisque $\overrightarrow{n}(\text{2};-\text{2};1)$ est un vecteur normal au plan (EGK), ce plan a pour équation cartésienne 2x - 2y + z + d = 0.

Les coordonnées de $\text{E}(\text{0};\text{0};1)$ vérifient cette équation, donc 1 + d = 0 ; d = - 1 et (EGK) admet pour équation cartésienne : $\boxed{2x-2y+z-1=0}$.

▶ 4. Déterminer une représentation paramétrique d’une droite

La droite (d) est orthogonale au plan (EGK), donc le vecteur $\overrightarrow{n}(\text{2};-\text{2};1)$ est un vecteur directeur de (d).

(d) a donc pour représentation paramétrique $\boxed{\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2t, t\in \text{ℝ}\\ z=1+t\end{array}\right.}.$

▶ 5. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan

Si L est le projeté orthogonal de F sur le plan (EGK), alors F est le point d’intersection de la droite (d) et du plan (EGK). Ses coordonnées sont de la forme $(1+2t;-2t;1+t)$ et vérifient l’équation cartésienne de (EGK), d’où : $2(1+2t)-2\times (-2t)+1+t-1=0$.

Cette équation équivaut à 9t + 2 = 0, soit $t=-\frac{2}{9}$.

Le projeté orthogonal de F sur le plan (EGK) a donc pour coordonnées :

$\left\{\begin{array}{l}x=1+2\times \left(-\frac{2}{9}\right)\\ y=-2\times \left(-\frac{2}{9}\right)\\ z=1-\frac{2}{9}\end{array}\right.$ c’est-à-dire $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{9}\\ y=\frac{4}{9}\\ z=\frac{7}{9}\end{array}\right.$.

Le projeté orthogonal de $\text{F}$ sur le plan $\left(\text{EGK}\right)$ est donc bien $\text{L}\left(\frac{5}{9};\frac{4}{9};\frac{7}{9}\right).$

▶ 6. Calculer la distance de deux points de l’espace

$\text{LF}=\sqrt[]{{\left(1-\frac{5}{9}\right)}^2+{\left(\frac{4}{9}\right)}^2+{\left(1-\frac{7}{9}\right)}^2}=\frac{\sqrt[]{16+16+4}}{9}=\frac{6}{9}$ , $\boxed{\text{LF}=\frac{2}{3}}$ .

▶ 7. Calculer l’aire d’un triangle et le volume d’un tétraèdre

Le triangle EFG est un triangle rectangle dont l’aire est la moitié de l’aire d’une face du cube. L’aire du triangle EFG est donc égale à $\frac{1}{2}$.

Dans le tétraèdre EFGK, la hauteur relative à la base EFG est la distance du point K à son projeté orthogonal sur le plan (EFG), c’est-à-dire la distance de K au milieu du segment [FG] ; cette distance est égale à 1.

On en déduit que le volume du tétraèdre EFGK est $\mathcal{V}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1$, soit : $\boxed{\mathcal{V}=\frac{1}{6}}.$

▶ 8. Calculer l’aire d’un triangle

Dans le même tétraèdre EFGK, la hauteur h relative à la base EGK est la distance de F à son projeté orthogonal sur le plan (EGK).

Donc $h=\text{FL}=\frac{2}{3}$.

Si on note $\mathcal{A}$ l’aire du triangle EGK, le volume 𝒱 du tétraèdre EFGK est :

$\mathcal{V}=\frac{1}{3}\times \mathcal{A}\times \frac{2}{3}$. Or $\mathcal{V}=\frac{1}{6}$, donc $\frac{1}{3}\times \mathcal{A}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{6}$, soit $\mathcal{A}=\frac{3}{4}$.

L’aire du triangle EGK est égale à $\frac{3}{4}$.

▶ 9. Calculer le volume d’un tétraèdre

Dans le tétraèdre FPMN, la hauteur h′ relative à la face MNP est la distance de F au plan (MNP). Or les points M, N et P appartiennent au plan (EGK), donc $(\text{MNP})=(\text{EGK})$, donc $h^{\prime }=\text{FL}=h=\frac{2}{3}$.

Les points M, N et P sont les milieux des côtés du triangle EGK, donc, d’après le théorème des milieux, l’aire du triangle MNP est égale à $\frac{1}{4}$ de celle du triangle EGK, c’est-à-dire $\frac{3}{16}$.

Le volume du tétraèdre FPMN est donc ${\mathcal{V}}^{\prime }=\frac{1}{3}\times \frac{3}{16}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{24}$.

Le volume du tétraèdre $\text{FPMN}$ est égal à $\frac{1}{24}$.