Partie A

▶ 1. Conjecturer par lecture graphique les variations d’une fonction

On peut conjecturer par lecture graphique que $f^{\prime }(x)\ge 0$ (la courbe représentative de f′ est au-dessus de l’axe des abscisses) pour x ∈ ]- ∞ ; - 1] et que $f^{\prime }(x)\le 0$ (la courbe représentative de f′ est en dessous de l’axe des abscisses) pour x ∈[- 1 ; + ∞[.

On conjecture donc que f est croissante sur ]- ∞ ; - 1] et décroissante sur [- 1 ; + ∞[.

▶ 2. Conjecturer par lecture graphique la convexité d’une fonction

Par lecture graphique, on conjecture également que f′ est décroissante sur ]- ∞ ; 0] et croissante sur [0 ; + ∞[, c’est-à-dire que $f$ est concave sur $]-\infty ;\text{ 0}]$ et convexe sur $[0 ; +\infty [$, et que sa courbe représentative a un point d’inflexion d’abscisse 0 (changement de sens de variation de f′).

Partie B

▶ 1. Déterminer et interpréter la limite en + ∞ d’une fonction

Pour tout réel x, $f(x)=x{\text{e}}^{-x}+2{\text{e}}^{-x}$.

Or ${\text{e}}^{-x}=\frac{1}{{\text{e}}^x}$. Donc, pour tout nombre réel x, $f(x)=\frac{x}{{\text{e}}^x}+2{\text{e}}^{-x}.$

D’après le cours, $\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }{\text{e}}^x=+\text{∞ et }\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }\frac{{\text{e}}^x}{x}=+\text{∞}(\text{croissances comparées)}$,

donc :

$\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }{\text{e}}^{-x}=0\text{ et }\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }\frac{x}{{\text{e}}^x}=0,$

et par opérations :

$\boxed{\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }f(x)=0}$

On en déduit que la courbe $\mathcal{C}$ a en $+\infty$ une asymptote (horizontale) d’équation $y=0$.

▶ 2. a) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout réel x :

$f^{\prime }(x)=1\times {\text{e}}^{-x}-(x+2){\text{e}}^{-x}$

$f^{\prime }(x)=(1-x-2){\text{e}}^{-x}$.

Donc :

$f^{\prime }(x)=(-x-1){\text{e}}^{-x}$.

b) Étudier les variations d’une fonction sur ℝ

Pour tout réel x, ${\text{e}}^{-x}>0$, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de (- x - 1).

Donc :

$f^{\prime }(-1)=0$ ;

si x < - 1, alors – x - 1 > 0, donc $f^{\prime }(x)>0$ ;

si x > - 1, alors – x - 1 < 0, donc $f^{\prime }(x)<0$.

On en déduit que f est strictement croissante sur $]-\infty ; -1]$ et strictement décroissante sur $[-\text{1 }; +\infty [$. Son tableau de variations est :

c) Montrer qu’une équation a une unique solution dans un intervalle donné

La fonction f est continue et strictement croissante sur l’intervalle [- 2 ; - 1] ; $f(-2)=0$ et $f(-1)=\text{e}>2$, donc $2\in [f(-2) ; f(-1)]$.

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 2 admet une unique solution α sur l’intervalle [- 2 ; - 1].

D’après la calculatrice, $f(-\mathrm{1,6})\approx \mathrm{1,98}<2$ et $f(-\mathrm{1,5})\approx \mathrm{2,24}>2$, donc $-\mathrm{1,6}$ et $-\mathrm{1,5}$ sont des valeurs approchées de $\text{α}$ à ${10}^{-1}$ près.

▶ 3. Étudier la convexité d’une fonction

Pour tout réel x :

$f^{″}(x)=-1\times {\text{e}}^{-x}-(-x-1){\text{e}}^{-x}$

$f^{″}(x)=(-1+x+1){\text{e}}^{-x}$

$\boxed{f^{″}(x)=x{\text{e}}^{-x}}$

$f^{″}(x)$ est du signe de x, donc :

$f^{″}(0)=0$ ;

si x < 0, alors $f^{″}(x)<0$ ;

si x > 0, alors $f^{″}(x)>0$.

On en déduit que f est concave sur $]-\infty ;\text{ 0}]$ et convexe sur $[0 ; +\infty [$.

En 0, f″ s’annule et change de signe, donc on peut dire que le point A d’abscisse 0 est un point d’inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.