▶ 1. a) Montrer que des points déterminent un plan

$\overrightarrow{\text{AB}}(3-1;2-2;1-2)$, soit $\overrightarrow{\text{AB}}(2;0;-1)\ne (0;0;0)$.

$\overrightarrow{\text{AC}}(1-1;3-2;3-2)$, soit $\overrightarrow{\text{AC}}(0;1;1)\ne (0;0;0)$.

Les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés et déterminent un plan, noté $\mathcal{P}$₁.

b) Vérifier qu'une équation cartésienne est celle d'un plan donné

Notons Π le plan dont $x-2y+2z-1=0$ est une équation cartésienne et démontrons que Π = $\mathcal{P}$₁.

De l'équation, on déduit que le vecteur $\overrightarrow{n}(1;-2;2)$ est un vecteur normal au plan Π.

Or, $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}=1\times 2+(-2)\times 0+2\times (-1)=2-2=0$

et $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}=1\times 0+(-2)\times 1+2\times 1=-2+2=0$.

Donc, comme $(\overrightarrow{\text{AB}};\overrightarrow{\text{AC}})$ est un couple de vecteurs directeurs du plan $\mathcal{P}$₁, on en déduit que $\overrightarrow{n}(1;-2;2)$ est aussi un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$₁. Les plans Π et $\mathcal{P}$₁ sont donc parallèles.

De plus, $\text{A}(1;2;2)$ et $1-2\times 2+2\times 2-1=0$, donc A appartient au plan Π.

Ainsi, les plans Π et $\mathcal{P}$₁ sont parallèles et ont un point commun.

Ils sont donc confondus et $x-2y+2z-1=0$ est une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$₁.

▶ 2. a) Étudier la position relative de deux plans

Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$₂ d'équation $x-3y+2z+2=0$ est $\overrightarrow{n^{\prime }}(1;-3;2)$.

Les vecteurs $\overrightarrow{n}(1;-2;2)$ et $\overrightarrow{n^{\prime }}(1;-3;2)$ ne sont pas colinéaires, donc les plans $\mathcal{P}$₁ et $\mathcal{P}$₂ sont sécants et leur intersection est une droite, notée Δ.

b) Démontrer qu'un point appartient à une droite

Démontrer que C appartient à Δ revient à démontrer que C appartient à $\mathcal{P}$₁ et à $\mathcal{P}$₂, c'est-à-dire que les coordonnées de C vérifient une équation cartésienne de chacun des deux plans.

$\text{C}(1;3;3)$ et $1-2\times 3+2\times 3-1=1-6+6-1=0$, donc C ∈ $\mathcal{P}$₁.

De même, $1-3\times 3+2\times 3+2=1-9+6+2=0$, donc C ∈ $\mathcal{P}$₂.

Donc le point C appartient à la droite Δ.

c) Identifier un vecteur directeur d'une droite donnée

Notons $\mathcal{D}$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(2;0;-1)$ et démontrons que $\mathcal{D}$ est parallèle à Δ, ce qui prouvera que $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de Δ.

$\overrightarrow{n}(1;-2;2)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$₁ et

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=1\times 2+(-2)\times 0+2\times (-1)=2+0-2=0$, donc $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{u}$.

On en déduit que $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$₁.

De même, $\overrightarrow{n^{\prime }}(1;-3;2)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$₂

et $\overrightarrow{n^{\prime }}\cdot \overrightarrow{u}=1\times 2+(-3)\times 0+2\times (-1)=2+0-2=0$, donc $\overrightarrow{n^{\prime }}\perp \overrightarrow{u}$.

On en déduit que $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$₂.

La droite $\mathcal{D}$ est donc parallèle à la droite Δ, intersection de $\mathcal{P}$₁ et $\mathcal{P}$₂.

Ainsi, $\overrightarrow{u}$ étant un vecteur directeur de $\mathcal{D}$, c'est aussi un vecteur directeur de Δ, car les droites $\mathcal{D}$ et Δ ont la même direction.

d) Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

Δ est la droite passant par le point $\text{C}(1;3;3)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(2;0;-1)$.

Une représentation paramétrique de Δ est donc $\left\{\begin{array}{l}x=2t+1\\ y=3\\ z=-t+3\end{array}\right., t\in \text{ℝ}$.

▶ 3. a) Déterminer les coordonnées d'un point

Compte tenu de la représentation paramétrique de Δ, un point M appartenant à la droite Δ a pour coordonnées $(2t+1 ; 3 ; -t+3)$, avec t appartenant à ℝ.

$\overrightarrow{\text{AM}}$ et $\overrightarrow{u}$ orthogonaux $\iff \overrightarrow{\text{AM}}\cdot \overrightarrow{u}=0$.

$\text{A}(1;2;2)$ donc $\overrightarrow{\text{AM}}(2t+1-1;3-2;-t+3-2)$, soit $\overrightarrow{\text{AM}}(2t;1;-t+1)$.

$\overrightarrow{u}(2;0;-1)$, donc :

$\begin{array}{l}\overrightarrow{\text{AM}}\cdot \overrightarrow{u}=0\iff 2t\times 2+1\times 0+(-t+1)\times (-1)=0\\ \iff 4t+t-1=0 \iff 5t=1\iff t=\frac{1}{5}.\end{array}$

Ainsi, il existe un unique réel t tel que les vecteurs $\overrightarrow{\text{AM}}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux, donc il existe un unique point de Δ tel que $\overrightarrow{\text{AM}}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux.

Notons H ce point. En remplaçant t par $\frac{1}{5}$ dans l'expression générale des coordonnées d'un point de Δ, on obtient :

H a pour coordonnées $\left(2\times \frac{1}{5}+1;3;-\frac{1}{5}+3\right)$, soit $\left(\frac{7}{5};3;\frac{14}{5}\right)$.

b) Étudier la position relative de deux droites

La droite Δ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}$, et les vecteurs $\overrightarrow{\text{AH}}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux, donc les droites Δ et (AH) sont orthogonales.

De plus, elles sont sécantes en H, donc les droites Δ et (AH) sont perpendiculaires en H.

c) Calculer une distance

$\text{H}\left(\frac{7}{5};3;\frac{14}{5}\right)$ et $\text{A}(1;2;2)$, donc :

$\begin{array}{c}\text{AH}=\sqrt{{\left(\frac{7}{5}-1\right)}^2+{\left(3-2\right)}^2+{\left(\frac{14}{5}-2\right)}^2}\\ =\sqrt{\frac{4}{25}+1+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{4+25+16}{25}}\\ =\sqrt{\frac{45}{25}}=\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{25}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}.\end{array}$