Annale corrigée Exercice

Distance d'un point à la droite d'intersection de deux points

Orthogonalité et distances dans l'espace

Distance d'un point à la droite intersection de deux plans

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  Ce sujet nous fait déterminer la position relative de deux plans de l'espace, puis définir leur intersection et, enfin, calculer la distance d'un point à cette intersection des deux plans.

 

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O;i,j,k), on considère les points A(1;2;2), B(3;2;1) et C(1;3;3).

1. a) Démontrer que les points A, B et C déterminent un plan, noté P1.

b) Vérifier que x2y+2z1=0 est une équation cartésienne de P1.

2. On considère le plan P2 d'équation cartésienne x3y+2z+2=0.

a) Démontrer que les plans P1 et P2 sont sécants.

On note Δ leur droite d'intersection.

b) Démontrer que le point C appartient à la droite Δ.

c) Vérifier que u(2;0;1) est un vecteur directeur de la droite Δ.

d) En déduire que x=2t+1y=3z=t+3, t, est une représentation paramétrique de la droite Δ.

3. a) Démontrer qu'il existe un unique point H appartenant à Δ tel que les vecteurs AH et u sont orthogonaux. Déterminer les coordonnées de H, qui est donc le projeté othogonal du point A sur la droite Δ.

b) Que peut-on en déduire pour les droites (AH) et Δ ?

c) Calculer AH, qui est la distance du point A à la droite Δ.

 

Les clés du sujet

1. a) Démontrez, par exemple, que AB et AC ne sont pas colinéaires.

b) Démontrez que le vecteur n(1;2;2) est un vecteur normal au plan P1 et que l'un des points A, B ou C appartient au plan d'équation donnée.

2. a) Démontrez que les vecteurs normaux de ces deux plans ne sont pas colinéaires.

b) Démontrez que le point C appartient au plan P1 et au plan P2

c) Considérez une droite de vecteur directeur u et démontrez que le vecteur u est orthogonal à un vecteur normal à chacun des deux plans.

d) Utilisez le fait que le point C appartient à Δ et que u en est un vecteur directeur.

3. a) Résolvez dans ℝ l'équation AHu=0 d'inconnue t.

b) Remarquez que (AH) et Δ sont orthogonales et ont un point commun.

c) Utilisez les coordonnées du point A et du point H.

1. a) Montrer que des points déterminent un plan

AB(31;22;12), soit AB(2;0;1)(0;0;0).

AC(11;32;32), soit AC(0;1;1)(0;0;0).

Les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés et déterminent un plan, noté P1.

b) Vérifier qu'une équation cartésienne est celle d'un plan donné

Notons Π le plan dont x2y+2z1=0 est une équation cartésienne et démontrons que Π = P1.

De l'équation, on déduit que le vecteur n(1;2;2) est un vecteur normal au plan Π.

Or, nAB=1×2+(2)×0+2×(1)=22=0

et nAC=1×0+(2)×1+2×1=2+2=0.

Donc, comme (AB;AC) est un couple de vecteurs directeurs du plan P1, on en déduit que n(1;2;2) est aussi un vecteur normal au plan P1. Les plans Π et P1 sont donc parallèles.

à noter

Deux plans de l'espace qui admettent le même vecteur normal sont parallèles.

De plus, A(1;2;2) et 12×2+2×21=0, donc A appartient au plan Π.

Ainsi, les plans Π et P1 sont parallèles et ont un point commun.

Ils sont donc confondus et x2y+2z1=0 est une équation cartésienne du plan P1.

2. a) Étudier la position relative de deux plans

à noter

Soit P et P′ deux plans de vecteurs normaux respectifs n0 et n0.

P // P n et n sont colinéaires Il existe α tel que n=αn.

Dans l'espace, deux plans sont soit parallèles, soit sécants selon une droite.

Un vecteur normal au plan P2 d'équation x3y+2z+2=0 est n(1;3;2).

Les vecteurs n(1;2;2) et n(1;3;2) ne sont pas colinéaires, donc les plans P1 et P2 sont sécants et leur intersection est une droite, notée Δ.

b) Démontrer qu'un point appartient à une droite

Démontrer que C appartient à Δ revient à démontrer que C appartient à P1 et à P2, c'est-à-dire que les coordonnées de C vérifient une équation cartésienne de chacun des deux plans.

C(1;3;3) et 12×3+2×31=16+61=0, donc C ∈ P1.

De même, 13×3+2×3+2=19+6+2=0, donc C ∈ P2.

Donc le point C appartient à la droite Δ.

c) Identifier un vecteur directeur d'une droite donnée

Notons D une droite de vecteur directeur u(2;0;1) et démontrons que D est parallèle à Δ, ce qui prouvera que u est un vecteur directeur de Δ.

n(1;2;2) est un vecteur normal au plan P1 et

nu=1×2+(2)×0+2×(1)=2+02=0, donc nu.

On en déduit que D est parallèle au plan P1.

De même, n(1;3;2) est un vecteur normal au plan P2

et nu=1×2+(3)×0+2×(1)=2+02=0, donc nu.

On en déduit que D est parallèle au plan P2.

La droite D est donc parallèle à la droite Δ, intersection de P1 et P2.

Ainsi, u étant un vecteur directeur de D, c'est aussi un vecteur directeur de Δ, car les droites D et Δ ont la même direction.

d) Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

Δ est la droite passant par le point C(1;3;3) et de vecteur directeur u(2;0;1).

Une représentation paramétrique de Δ est donc x=2t+1y=3z=t+3, t.

3. a) Déterminer les coordonnées d'un point

Compte tenu de la représentation paramétrique de Δ, un point M appartenant à la droite Δ a pour coordonnées (2t+1 ; 3 ; t+3), avec t appartenant à ℝ.

AM et u orthogonaux AMu=0.

A(1;2;2) donc AM(2t+11;32;t+32), soit AM(2t;1;t+1).

u(2;0;1), donc :

AMu=02t×2+1×0+(t+1)×(1)=04t+t1=0 5t=1t=15.

Ainsi, il existe un unique réel t tel que les vecteurs AM et u sont orthogonaux, donc il existe un unique point de Δ tel que AM et u sont orthogonaux.

Notons H ce point. En remplaçant t par 15 dans l'expression générale des coordonnées d'un point de Δ, on obtient :

H a pour coordonnées 2×15+1;3;15+3, soit 75;3;145.

b) Étudier la position relative de deux droites

à noter

Soit D et Δ deux droites de l'espace de vecteurs directeurs respectifs u0 et v0 : DΔ  uv=0

La droite Δ a pour vecteur directeur u, et les vecteurs AH et u sont orthogonaux, donc les droites Δ et (AH) sont orthogonales.

De plus, elles sont sécantes en H, donc les droites Δ et (AH) sont perpendiculaires en H.

c) Calculer une distance

à noter

AH=(xHxA)2+(yHyA)2+(zHzA)2

H75;3;145 et A(1;2;2), donc :

AH=7512+322+14522=425+1+1625=4+25+1625=4525=4525=355.

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