Distance d'un point à la droite d'intersection de deux points

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Orthogonalité et distances dans l’espace
Type : Exercice | Année : 2020 | Académie : Inédit


Orthogonalité et distances dans l’espace

Distance d’un point à la droite intersection de deux plans

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  Ce sujet nous fait déterminer la position relative de deux plans de l’espace, puis définir leur intersection et, enfin, calculer la distance d’un point à cette intersection des deux plans.

 

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k), on considère les points A(1;2;2), B(3;2;1) et C(1;3;3).

1. a) Démontrer que les points A, B et C déterminent un plan, noté P1.

b) Vérifier que x2y+2z1=0 est une équation cartésienne de P1.

2. On considère le plan P2 d’équation cartésienne x3y+2z+2=0.

a) Démontrer que les plans P1 et P2 sont sécants.

On note Δ leur droite d’intersection.

b) Démontrer que le point C appartient à la droite Δ.

c) Vérifier que u(2;0;1) est un vecteur directeur de la droite Δ.

d) En déduire que x=2t+1y=3z=t+3, t, est une représentation paramétrique de la droite Δ.

3. a) Démontrer qu’il existe un unique point H appartenant à Δ tel que les vecteurs AH et u sont orthogonaux. Déterminer les coordonnées de H, qui est donc le projeté othogonal du point A sur la droite Δ.

b) Que peut-on en déduire pour les droites (AH) et Δ ?

c) Calculer AH, qui est la distance du point A à la droite Δ.

 

Les clés du sujet

1. a) Démontrez, par exemple, que AB et AC ne sont pas colinéaires.

b) Démontrez que le vecteur n(1;2;2) est un vecteur normal au plan P1 et que l’un des points A, B ou C appartient au plan d’équation donnée.

2. a) Démontrez que les vecteurs normaux de ces deux plans ne sont pas colinéaires.

b) Démontrez que le point C appartient au plan P1 et au plan P2

c) Considérez une droite de vecteur directeur u et démontrez que le vecteur u est orthogonal à un vecteur normal à chacun des deux plans.

d) Utilisez le fait que le point C appartient à Δ et que u en est un vecteur directeur.

3. a) Résolvez dans ℝ l’équation AHu=0 d’inconnue t.

b) Remarquez que (AH) et Δ sont orthogonales et ont un point commun.

c) Utilisez les coordonnées du point A et du point H.