Distance d'un point à un plan

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2017

Exercice 2 • 3 points • 35 min

Distance d’un point à un plan

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace

 

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;i,j,k).

Soit P le plan d’équation cartésienne 2xz − 3 = 0.

On note A le point de coordonnées (1 ; a ; a2), où a est un nombre réel.

1. Justifier que, quelle que soit la valeur du réel a, le point A n’appartient pas au plan P.

2. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite D (de paramètre noté t) passant par le point A et orthogonale au plan P.

matT_1706_07_01C_02

b) Soit M un point appartenant à la droite D, associé à la valeur t du paramètre dans la représentation paramétrique précédente.

Exprimer la distance AM en fonction du réel t.

On note H le point d’intersection du plan P et de la droite D orthogonale à P et passant par le point A. Le point H est appelé le projeté orthogonal du point A sur le plan P, et la distance AH est appelée distance du point A au plan P.

3. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle la distance AH du point A de coordonnées (1 ; a ; a2) au plan P est minimale ? Justifier la réponse.

Les clés du sujet

3. Déterminez dans un premier temps le paramètre t associé au point H dans la représentation paramétrique de D en fonction du réel a. Utilisez, pour ce faire, le fait que H appartient à D et à P. Exprimez ensuite la distance AH à l’aide de la question 2. b) également en fonction du réel a. Concluez.