Distance minimale

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2015

Exercice 2 • 3 points

Distance minimale

Dans un repère orthonormé (O ; I, J, K) d’unité 1 cm, on considère les points A(0 ; −1 ; 5), B(2 ; −1 ; 5), C(11 ; 0 ; 1) et D(11 ; 4 ; 4).

Un point M se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde. Un point N se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde. À l’instant = 0 le point M est en A et le point N est en C.

On note Mt et Nt les positions des points M et N au bout de t secondes, t désignant un nombre réel positif.

On admet que Mt et Nt ont pour coordonnées : Mt (; −1 ; 5) et Nt (11 ; 0,8 ; 1+0,6 t).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. a) La droite (AB) est parallèle à l’un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?

b) La droite (CD) se trouve dans un plan P parallèle à l’un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel ? On donnera une équation de ce plan P.

c) Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan P, coupe ce plan au point E (11 ; − 1 ; 5).

d) Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?

2. a) Montrer que 645038-Eqn1.

b) À quel instant t la longueur Mt Nt est-elle minimale ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Étude de fonctions.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Coordonnées de vecteurs E29 1.

Produit scalaire E31c 1. b)

Vecteur normal E33a 1. b)

Vecteurs colinéaires E27 1. a)

Équation cartésienne d’un plan E33c 1. b) et c)

Représentation paramétrique d’une droite E30 1. b), c) et d)

Nos coups de pouce

1. b) Calculez le produit scalaire du vecteur 645038-Eqn22 avec un autre vecteur bien choisi pour conclure.

c) Écrivez une représentation paramétrique pour chacune des droites et résolvez un système d’équations pour déterminer les coordonnées d’un éventuel point d’intersection.

2. b) Déterminez les variations du trinôme de la question précédente et exploitez ces variations pour en déduire celles de MtNt lorsque 645038-Eqn23.

Corrigé

Corrigé

1. a) Étudier le parallélisme de deux droites

Nous avons, dans le repère 645038-Eqn55 :

645038-Eqn56

Nous constatons alors que 645038-Eqn57 donc les vecteurs 645038-Eqn58 et 645038-Eqn59 sont colinéaires et la droite (AB) est parallèle à l’axe (OI).

b) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

Nous avons, dans le repère orthonormé 645038-Eqn60 :

645038-Eqn61.

Ensuite : 645038-Eqn63 donc 645038-Eqn64 est orthogonal à 645038-Eqn65.

Comme 645038-Eqn66 est normal au plan (OJK), la droite (CD) est par conséquent incluse dans un plan P parallèle au plan (OJK).

Le plan P est parallèle au plan (OJK) de vecteur normal 645038-Eqn67 ; une équation cartésienne de P est donc 645038-Eqn68d est un réel à déterminer.

Comme (CD) est incluse dans le plan P, le point C par exemple appartient au plan P.

Par conséquent : 645038-Eqn69.

Le plan P a donc pour équation cartésienne 645038-Eqn70.

c) Déterminer les coordonnées d’un point d’intersection

Remarquons tout d’abord que, d’après la question 1. a), (AB) est parallèle à (OI). Comme (OI) est orthogonale à P, (AB) est donc orthogonale à P.

Déterminons une représentation paramétrique de la droite (AB). Nous avons 645038-Eqn71 qui est un point de (AB) et 645038-Eqn72 (question 1. a)) qui est un vecteur directeur de (AB).

Une représentation paramétrique de la droite (AB) est donc donnée par :

645038-Eqn73 ce qui nous donne 645038-Eqn74.

Enfin

645038-Eqn75

La droite (AB), orthogonale à P, coupe ce plan au point 645038-Eqn76.

d) Étudier la position relative de deux droites

La droite (CD) étant incluse dans le plan P, si les droites (AB) et (CD) sont sécantes, alors leur point d’intersection est dans P. Le seul point commun à P et (AB) est leur point E.

Regardons si E ∈ (CD).

Les vecteurs 645038-Eqn77 (0 ; 4 ; 3) et 645038-Eqn78 (0 ; – 1 ; 4) ne sont pas colinéaires donc E ∉ (CD).

Par conséquent, les droites (AB) et (CD) ne sont pas sécantes.

2.a) Calculer le carré d’une distance

Dans le repère orthonormé 645038-Eqn79, nous avons :

645038-Eqn80

b) Déterminer l’abscisse d’un extremum

Soit 645038-Eqn81 la fonction définie sur 645038-Eqn82 par 645038-Eqn83.

645038-Eqn84 est une fonction polynôme de degré 2 : 645038-Eqn85 avec 645038-Eqn86.

On calcule : 645038-Eqn62.

Comme 645038-Eqn87, la fonction 645038-Eqn88 est strictement décroissante sur 645038-Eqn89 et strictement croissante sur 645038-Eqn90. Elle atteint son minimum en 645038-Eqn91.

645038-Eqn92 est donc strictement positive sur 645038-Eqn93, par conséquent, les fonctions 645038-Eqn94 et 645038-Eqn95 ont les mêmes sens de variations sur 645038-Eqn96 et donc sur 645038-Eqn97.

La fonction 645038-Eqn98 atteint donc son minimum en 645038-Eqn99.

Notez bien

Si 645038-Eqn100 est une fonction définie et positive sur un intervalle I, alors les fonctions 645038-Eqn101 et 645038-Eqn102 ont les mêmes sens de variations sur I.

En remarquant pour finir que, si 645038-Eqn103, 645038-Eqn104, nous pouvons donc dire que la longueur 645038-Eqn105est minimale quand 645038-Eqn106s.