Distance minimale

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2015

Exercice 2 • 3 points

Distance minimale

Dans un repère orthonormé (O ; I, J, K) d’unité 1 cm, on considère les points A(0 ; −1 ; 5), B(2 ; −1 ; 5), C(11 ; 0 ; 1) et D(11 ; 4 ; 4).

Un point M se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde. Un point N se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde. À l’instant = 0 le point M est en A et le point N est en C.

On note Mt et Nt les positions des points M et N au bout de t secondes, t désignant un nombre réel positif.

On admet que Mt et Nt ont pour coordonnées : Mt (; −1 ; 5) et Nt (11 ; 0,8 ; 1+0,6 t).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. a) La droite (AB) est parallèle à l’un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?

b) La droite (CD) se trouve dans un plan P parallèle à l’un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel ? On donnera une équation de ce plan P.

c) Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan P, coupe ce plan au point E (11 ; − 1 ; 5).

d) Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?

2. a) Montrer que 645038-Eqn1.

b) À quel instant t la longueur Mt Nt est-elle minimale ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Étude de fonctions.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Coordonnées de vecteurs E29 1.

Produit scalaire E31c 1. b)

Vecteur normal E33a 1. b)

Vecteurs colinéaires E27 1. a)

Équation cartésienne d’un plan E33c 1. b) et c)

Représentation paramétrique d’une droite E30 1. b), c) et d)

Nos coups de pouce

1. b) Calculez le produit scalaire du vecteur 645038-Eqn22 avec un autre vecteur bien choisi pour conclure.

c) Écrivez une représentation paramétrique pour chacune des droites et résolvez un système d’équations pour déterminer les coordonnées d’un éventuel point d’intersection.

2. b) Déterminez les variations du trinôme de la question précédente et exploitez ces variations pour en déduire celles de MtNt lorsque 645038-Eqn23.