Droite rationnelle

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2016

Exercice 3 • 5 points

Droite rationnelle

Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls (ab), on note pgcd(ab) le plus grand diviseur commun de a et b.

Le plan est muni d’un repère (O;i,j).

▶ 1. Exemple. Soit Δ1 la droite d’équation y=54x23.

a) Montrer que si (x, y) est un couple d’entiers relatifs alors l’entier 15– 12y est divisible par 3.

b) Existe-t-il au moins un point de la droite Δ1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.

Généralisation. On considère désormais une droite Δ d’équation (E) : y=mnxpq m, n, p et q sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd(m, n= pgcd(p, q= 1.

Ainsi, les coefficients de l’équation (E) sont des fractions irréductibles et on dit que Δ est une droite rationnelle.

Le but de l’exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m, n, p et q pour qu’une droite rationnelle Δ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.

▶ 2. On suppose ici que la droite Δ comporte un point de coordonnées (x0, y0) où x0 et y0 sont des entiers relatifs.

a) En remarquant que le nombre ny0 – mx0 est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np.

b) En déduire que q divise n.

▶ 3. Réciproquement, on suppose que q divise n, et on souhaite trouver un couple (x0, y0) d’entiers relatifs tels que y0=mnx0pq.

a) On pose = qr, où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qru mv = 1.

b) En déduire qu’il existe un couple (x0, y0) d’entiers relatifs tels que y0=mnx0pq.

▶ 4. Soit Δ la droite d’équation y=38x74. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.

▶ 5. On donne l’algorithme suivant :

Variables

M, N, P, Q : entiers relatifs non nuls,

tels que pgcd(M, N= pgcd(P, Q= 1

X : entier naturel

Entrées

Saisir les valeurs de M, N, P et Q

Traitement et sorties

Si Q divise N alors

X prend la valeur 0

Tant que (MNXPQ n’est pas entier) et (MNXPQ n’est pas entier) faire

X prend la valeur X + 1

Fin tant que

Si MNXPQ est entier alors

Afficher X ; MNXPQ

Sinon

Afficher – X ; MNXPQ

Fin Si

Sinon

Afficher « Pas de solution »

Fin Si

a) Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M, N, P et Q, entiers relatifs non nuls tels que pgcd(M, N= pgcd(P, Q= 1.

b) Que permet-il d’obtenir ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 70 minutes.

Les thèmes clés

Arithmétique • Algorithmique.

Nos coups de pouce

 3. a) Pensez au théorème de Bézout.

 5. a) Pensez à exploiter la question 3. b) pour justifier l’arrêt de l’algorithme dans le premier cas envisagé.

Corrigé

Corrigé

Notez bien

Si a et b sont deux entiers relatifs, b divise a s’il existe un entier relatif c tel que a=bc.

 1. a) Justifier qu’un entier relatif est divisible par 3

Soit (x,y) un couple d’entiers relatifs. On a 15x12y=3×(5x4y)5x4y est un entier relatif.

Par définition, 3 divise 15x12y.

b) Identifier un éventuel point sur une droite

Supposons qu’il y ait sur la droite Δ1 au moins un point M(x ; y) dont les coordonnées x et ysont des entiers relatifs. Dans ce cas, on a y=54x23 qui équivaut à 15x12y=8.

Or, d’après la question précédente, 3 divise 15x12y. Mais, puisque 15x12y=8, cela implique que 3 divise 8 ce qui est absurde.

Par conséquent, il n’existe pas de point de Δ1 dont les coordonnées soient deux entiers relatifs.

 2. a) Justifier qu’un entier divise un produit

On sait d’après l’énoncé que m,n,p et q sont des entiers relatifs non nuls. Soit x0 et y0 des entiers relatifs tels que le point M(x0,y)0 soit sur la droite Δ. On a dans ce cas :

Notez bien

est l’ensemble des entiers relatifs.

y0=mnx0pqny0=mx0npqqny0=qmx0npq(ny0mx0)=np.

Puisque ny0mx0, la relation précédente nous dit que, par définition, q divise np et donc q divise np.

b) Justifier qu’un entier en divise un autre

Notez bien

Théorème de Gauss : soit a, b et c des entiers relatifs, si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c.

D’après la question précédente, q divise np.

Or, d’après l’énoncé, pgcd(p,q)=1. D’après le théorème de Gauss, on en déduit que q divise n.

 3. a) Déterminer des entiers relatifs vérifiant une égalité

On sait d’après l’énoncé que m et n sont des entiers relatifs non nuls et que pgcd(m,n)=1.

D’après le théorème de Bézout, il existe des entiers relatifs u et v tels que nu+mv=1. En considérant les entiers relatifs u=u et v=v, on obtient numv=1 ce qui, puisque n=qr, nous donne qrumv=1.

On peut donc trouver des entiers relatifs u et v tels que qrumv=1.

b) Justifier l’existence d’un point à coordonnées entières appartenant à une droite

D’après la question précédente, il existe des entiers relatifs u et v tels que qrumv=1.

Cette dernière égalité nous donne, sachant que n=qr0 :

qrumv=1u=mqrv+1qru=mnv+1qr.

En multipliant les deux membres par pr dans la dernière égalité, on obtient :

pr×u=mn×(pr)×vpr×1qr soit encore pru=mn×(prv)pq.

Il existe donc un couple d’entiers relatifs (x0, y0) avec x0=p×r×v  et  y0=p×r×u tels que y0=mn×x0pq.

 4. Étudier un cas particulier

L’équation y=38x74 est de la forme y=mnxpq avec m=3, n=8, p=7 et q=4. On constate alors que q=4 divise n=8, que pgcd(m, n)=1 et pgcd(p, q)=1. D’après la question 3. b), il existe un couple d’entiers relatifs (x0, y0) tels que y0=mn×x0pq.

Par conséquent, la droite Δ possède un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

 5. a) Justifier l’arrêt d’un algorithme

Si Q divise N, alors l’algorithme cherche des coordonnées entières (X, Y) ou (X, Y) qui vérifient l’équation réduite de droite Y=MNXPQ en partant de X=0. X est incrémenté de 1 tant qu’une valeur de Y n’est pas trouvée.

D’après la question 3. b), on sait que de telles coordonnées existent.

Si Q ne divise pas N, alors l’algorithme affiche le message « Pas de solution ».

Dans tous les cas, cet algorithme se termine pour tout entrée de M,N,P et Q entiers relatifs non nuls tels que pgcd(M,N)=1 et pgcd(P,Q)=1.

b) Identifier le rôle d’un algorithme

Cet algorithme permet d’obtenir, si elles existent, des coordonnées entières (X ; Y) d’un point sur la droite d’équation y=MNxPQ.