Droites et plans de l’espace

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Pondichéry
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Droites et plans de l’espace
 
 

Géométrie dans l’espace

Corrigé

25

Ens. Spécifique

matT_1304_12_09C

 

Pondichéry • Avril 2013

Exercice 2 • 4 points

Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal. t et t désignent des paramètres réels.

Le plan P a pour équation x − 2y + 3z + 5 = 0.

Le plan S a pour représentation paramétrique

La droite D a pour représentation paramétrique

On donne les points de l’espace M(−1 ; 2 ; 3) et N(1 ; −2 ; 9).

>1. Une représentation paramétrique du plan P est :

a)

b)

c)

d)

>2.a) La droite D et le plan P sont sécants au point A(− 8 ; 3 ; 2).

b) La droite D et le plan P sont perpendiculaires.

c) La droite D est une droite du plan P.

d) La droite D et le plan P sont strictement parallèles.

>3.a) La droite (MN) et la droite D sont orthogonales.

b) La droite (MN) et la droite D sont parallèles.

c) La droite (MN) et la droite D sont sécantes.

d) La droite (MN) et la droite D sont confondues.

>4.a) Les plans P et S sont parallèles.

b) La droite ∆ de représentation paramétrique est la droite d’intersection des plans P et S.

c) Le point M appartient à l’intersection des plans P et S.

d) Les plans P et S sont perpendiculaires.

Durée conseillée : 40 min.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Représentation paramétrique  E30 • E33c  → 1., 2. et 4.
  • Position relative d’une droite et d’un plan  E24b  → 2.
  • Position relative de deux droites  E26a • E32b • E31c  → 3.
  • Position relative de deux plans  E24c  → 4.

Nos coups de pouce

>4. Observez bien les représentations paramétriques fournies pour voir le lien entre celle de et celle de D. Remarquez ensuite que D et constituent une seule et même droite.

Corrigé

>1. Identifier une représentation paramétrique d’un plan

La bonne réponse est la réponseb).

En effet :

>2. Déterminer la position respective d’une droite et d’un plan

La bonne réponse est la réponsec).

En effet, pour tout réel :

Tous les points de la droite D appartiennent au plan P donc la droite D est une droite du plan P.

>3. Déterminer la position respective de deux droites

La bonne réponse est la réponsea).

et un vecteur directeur de D est .

On obtient donc : .

La droite (MN) et la droite D sont donc orthogonales.

>4. Étudier la position relative de deux plans et leur éventuelle intersection

La bonne réponse est la réponseb).

On remarque tout d’abord qu’en prenant t ′ = 0 dans la représentation paramétrique de S, on retrouve la représentation paramétrique de D. Donc D est incluse dans S.

Comme d’après la question 2.D est incluse dans P, D est finalement à la fois dans S et dans P.

D’après la représentation paramétrique de , on remarque que le point B(0 ; – 2 ; – 3) appartient à la droite et qu’un vecteur directeur de est .

La droite est donc parallèle à D (même vecteur directeur) et le point B(0 ; – 2 ; – 3) appartient à D (prendre t= 2 dans la représentation paramétrique de D). Les droites D et sont donc confondues.

La droite est donc la droite d’intersection des plans P et S.