Droites et plans : jouons ensemble !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Droites et plans  : jouons ensemble  !

Géométrie dans l’espace

matT_1405_09_06C

Ens. spécifique

24

CORRIGE

Liban • Mai 2014

Exercice 2 • 5 points

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.

On considère le plan d’équation x &ndash y +  3z +  1  = 0

et la droite dont une représentation paramétrique est

On donne les points A(1 1 0), B(3 0 &ndash 1) et C(7 1 &ndash 2).

  • Proposition 1  :

Une représentation paramétrique de la droite (AB) est

  • Proposition 2  :

Les droites et (AB) sont orthogonales.

  • Proposition 3  :

Les droites et (AB) sont coplanaires.

  • Proposition 4  :

La droite coupe le plan au point E de coordonnées (8  &ndash 3  &ndash 4).

  • Proposition 5  :

Les plans et (ABC) sont parallèles.

Les clés du sujet

Durée conseillée  : 60 min.

Le thème clé

Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Représentation paramétrique d’une droite   E30  Propositions 1 à 4
  • Position relative de deux droites   E24a • E31c • E32b  → Propositions 2 et 3
  • Position relative d’une droite et d’un plan   E24b • E33c  → Proposition 4
  • Position relative de deux plans   E24c • E28 • E31c • E33  Proposition 5

Nos coups de pouce

  • Proposition 2. &Agrave partir des représentations paramétriques, identifiez un vecteur directeur de la droite (AB) et un vecteur directeur de la droite . Calculez leur produit scalaire et concluez.
  • Proposition 5. Précisez les coordonnées d’un vecteur normal au plan  P à partir de l’équation cartésienne donnée. Justifiez que les vecteurs et sont non colinéaires. Calculez et . Concluez.