Droites et plans : jouons ensemble !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Droites et plans : jouons ensemble !

Géométrie dans l’espace

matT_1405_09_06C

Ens. spécifique

24

CORRIGE

Liban • Mai 2014

Exercice 2 • 5 points

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.

On considère le plan 𝒫 d’équation xy + 3z + 1 = 0

et la droite 𝒟 dont une représentation paramétrique est

On donne les points A(1 ; 1 ; 0), B(3 ; 0 ; –1) et C(7 ; 1 ; – 2).

  • Proposition 1 :

Une représentation paramétrique de la droite (AB) est

  • Proposition 2 :

Les droites 𝒟 et (AB) sont orthogonales.

  • Proposition 3 :

Les droites 𝒟 et (AB) sont coplanaires.

  • Proposition 4 :

La droite 𝒟 coupe le plan 𝒫 au point E de coordonnées (8 ; – 3 ; – 4).

  • Proposition 5 :

Les plans 𝒫 et (ABC) sont parallèles.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Le thème clé

Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Représentation paramétrique d’une droite  E30 Propositions 1 à 4
  • Position relative de deux droites  E24a • E31c • E32b  → Propositions 2 et 3
  • Position relative d’une droite et d’un plan  E24b • E33c  → Proposition 4
  • Position relative de deux plans  E24c • E28 • E31c • E33 Proposition 5

Nos coups de pouce

  • Proposition 2. À partir des représentations paramétriques, identifiez un vecteur directeur de la droite (AB) et un vecteur directeur de la droite . Calculez leur produit scalaire et concluez.
  • Proposition 5. Précisez les coordonnées d’un vecteur normal au plan P à partir de l’équation cartésienne donnée. Justifiez que les vecteurs et sont non colinéaires. Calculez et . Concluez.
Corrigé
Corrigé

Proposition 1

Soit la droite dont une représentation paramétrique est

  • Pour .

Le point A appartient donc à la droite

  • Pour t.

Le point B appartient donc à la droite

Les points A et B étant distincts, la droite passant par A et B est confondue avec la droite La proposition 1 est vraie.

Proposition 2

  • D’après l’énoncé, une représentation paramétrique de la droite est :

.

Le vecteur de coordonnées est donc un vecteur directeur de la droite

  • D’après la question précédente (proposition 1), une représentation paramétrique de la droite (AB) est :

Le vecteur de coordonnées est donc un vecteur directeur de la droite (AB).

. Les vecteurs directeurs des droites et (AB) étant orthogonaux, les droites et (AB) sont orthogonales. La proposition 2 est vraie.

Proposition 3

  • D’après la question précédente (proposition 2), les droites et (AB) sont orthogonales. Par conséquent, si ces droites sont coplanaires alors elles ne peuvent pas être strictement parallèles ou confondues, elles ne peuvent être que sécantes.
  • Un point appartient à la droite (AB) et à la droite s’il existe deux nombres réels et tels que :

Ce qui équivaut à :

Ce qui amène à une contradiction. Il n’existe ainsi pas de points qui appartiennent à la fois à la droite et à la droite (AB). Ces droites, étant orthogonales mais non sécantes, sont alors non coplanaires. La proposition 3 est fausse.

Proposition 4

  • . Comme les coordonnées du point E vérifient l’équation cartésienne du plan donnée dans l’énoncé, le point E appartient au plan
  • Le point E appartient à la droite s’il existe un nombre réel tel que :

Ce qui conduit à des contradictions. Le point E n’appartient pas à la droite

La droite coupe peut-être le plan . Si tel est le cas, le point E n’est pas le point d’intersection. La proposition 4 est fausse.

Proposition 5

  • D’après l’énoncé, une équation cartésienne du plan est

Le vecteur de coordonnées est alors un vecteur normal au plan

  • Les vecteurs et ont pour coordonnées respectives et car

et

Leurs coordonnées étant non proportionnelles, les vecteurs et ne sont pas colinéaires et sont ainsi deux vecteurs directeurs du plan (ABC).

  • D’une part,

et d’autre part,

Le vecteur normal au plan est orthogonal aux vecteurs et , vecteurs directeurs du plan (ABC). Le vecteur est donc normal au plan (ABC). Les plans et (ABC) sont par conséquent parallèles. La proposition 5 est vraie.