Durée de vie d’un appareil

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Durée de vie d’un appareil

Lois de probabilité à densité

Corrigé

36

Ens. spécifique

matT_1200_00_65C

Sujet inédit

Exercice • 3 points

PARTIE A

Restitution organisée de connaissances

On rappelle que l’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre est la limite quand tend vers de .

>1. Montrer que la fonction définie sur par est un réel strictement positif, admet pour primitive la fonction . (0,5 point)

>2. Démontrer qu’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre a pour espérance . (0,75 point)

PARTIE B

Durée de vie d’un appareil électroménager

On modélise la durée de vie, exprimée en jours, d’un aspirateur sans sac par une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre .

Dans cette partie, on supposera qu’une année dure 365 jours et que lorsque l’aspirateur tombe en panne, il n’est pas réparable.

>1. Préciser la durée de vie moyenne d’un aspirateur. (0,5 point)

>2. Calculer la probabilité qu’un aspirateur tombe en panne au cours des deux premières années de fonctionnement.

Arrondir au millième. (0,5 point)

>3. Calculer la probabilité qu’un aspirateur tombe en panne entre le début de la 3e année et la fin de la 5e. Donner la valeur exacte. (0,5 point)

Durée conseillée : 30 min.

Les thèmes en jeu

Probabilités • Loi exponentielle.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Démontrez, en calculant la dérivée de la fonction , que pour tout réel de : . → fiche  C30 

>  2. Exprimez en fonction de à l’aide de la primitive calculée dans la question 1. puis calculez sa limite quand tend vers . → fiches  C1  C52 C 

Partie B

>  1. Utilisez la partie A.

>  2. et >  3. Exprimez la probabilité à calculer à l’aide de la densité de la loi exponentielle, puis calculez la probabilité en trouvant une primitive. → fiche  C52 C 

Corrigé

PARTIE A

>1. Démontrer qu’une fonction est une primitive

La fonction F est dérivable sur et :

et donc, pour tout réel appartenant à  : .

La fonction est donc une primitive de la fonction sur .

>2. Calculer l’espérance de la loi exponentielle

Pour appartenant à , d’après la question 1., on a :

, ainsi :

On souhaite calculer la limite de cette dernière expression quand tend vers .

étant strictement positif, et par quotient : .

On a : .

étant strictement positif : .

Or, on sait que : , donc : .

On en déduit, par produit, que : .

Par somme : .

PARTIE B

>1. Calculer une espérance avec la loi exponentielle

La durée de vie moyenne est l’espérance de  : Un aspirateur a donc une durée de vie moyenne de 2 500 jours.

>2. Calculer une probabilité avec la loi exponentielle

Il y a jours en deux ans, donc on doit calculer P (X ≤ 730).

Par définition, la probabilité de l’événement est l’aire du domaine  : ensemble des points qui se situent dans la partie du plan délimitée par la courbe de la densité associée à la variable aléatoire X, l’axe des abscisses, et qui ont une abscisse inférieure ou égale à 730.


La densité est ici définie sur ℝ par :


d’où : .

>3. Calculer une probabilité avec la loi exponentielle

Il y a jours en cinq ans, donc on calcule P(730 < X ≤ 1 825) :

Par définition, la probabilité de l’événement est l’aire du domaine délimité par la courbe de la densité associée à la variable aléatoire X, l’axe des abscisses et les droites d’équations et .



d’où : .