Lois de probabilité à densité
matT_1404_12_05C
Ens. spécifique
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CORRIGE
Pondichéry • Avril 2014
Exercice 1 • 4 points
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.
Dans la suite de l'exercice on prendra 0,081 pour valeur de λ.
Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à 10−3.
Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier.
On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation.
Durée conseillée : 50 min.
Les thèmes clés
Loi exponentielle • Intervalle de fluctuation • Fonction logarithme népérien et fonction exponentielle • Primitive.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
- Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi exponentielle
E40 c • E41 c • E42 → 1., 2. a), 2. b), 2. c) et 2. d) - Probabilité conditionnelle
E35 • E42 → 2. b) et 2. c) - Prise de décision et intervalle de fluctuation
E43 → 3. - Intégrales et équations liées aux fonctions exponentielles
E9 a • E11 d • E13 → 1. et 2. a)
Nos coups de pouce
est équivalente à
Déterminez le nombre réel
qui vérifie cette égalité en utilisant la définition du logarithme népérien.
> 1. Déterminer le paramètre d'une loi exponentielle
- La densité associée à une loi exponentielle étant nulle sur l'intervalle
, nous avons alors
Égalité somme toute logique, la durée de vie d'un moteur ne peut pas être négative.
- Par définition,
est l'aire en unités d'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la loi exponentielle de paramètre
, l'axe des abscisses et les droites d'équation
et
Ce qui se traduit à l'aide d'une intégrale par :
Une primitive de la fonction (sur
, donc sur
) étant
, nous en déduisons que :
> 2. a) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle
- L'événement contraire de l'événement
est l'événement
. Par suite,
- La densité associée à une loi exponentielle étant nulle sur
, nous avons
. Cette probabilité est l'aire en unités d'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la loi exponentielle de paramètre
, l'axe des abscisses et les droites d'équation
et
Ce qui se traduit à l'aide d'une intégrale par :
b) Vérifier une égalité (durée de vie sans vieillissement)
c) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle
La probabilité qu'un moteur fonctionne encore deux ans sachant qu'il a déjà fonctionné trois ans est
D'après la question précédente, en prenant et
, nous avons
.
d) Préciser et interpréter une espérance dans le cadre d'une loi exponentielle
Par propriété, l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre est
. Il en découle que
> 3. Prendre une décision à partir d'un intervalle de fluctuation
La proportion p de moteurs défectueux dans la production est supposée être égale à 0,01. 800 moteurs ont été prélevés dans la production, la taille n de l'échantillon est donc 800.
Comme et
l'intervalle de fluctuation asymptotique est défini et donné par :
Parmi les moteurs prélevés au hasard, 15 s'avèrent être défectueux : la fréquence observée f de moteurs défectueux dans l'échantillon est donc : . La fréquence observée
n'appartenant pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique,