Lois de probabilité à densité
matT_1404_12_05C
Ens. spécifique
29
CORRIGE
Pondichéry • Avril 2014
Exercice 1 • 4 points
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.
On sait que 
.
Déterminer la valeur exacte du réel λ.
Dans la suite de l'exercice on prendra 0,081 pour valeur de λ.
.
.
Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à 10−3.
Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier.
On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation.
Durée conseillée : 50 min.
Les thèmes clés
Loi exponentielle • Intervalle de fluctuation • Fonction logarithme népérien et fonction exponentielle • Primitive.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
- Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi exponentielle
E40 c • E41 c • E42 → 1., 2. a), 2. b), 2. c) et 2. d) - Probabilité conditionnelle
E35 • E42 → 2. b) et 2. c) - Prise de décision et intervalle de fluctuation
E43 → 3. - Intégrales et équations liées aux fonctions exponentielles
E9 a • E11 d • E13 → 1. et 2. a)
Nos coups de pouce
est équivalente à 
Déterminez le nombre réel 
qui vérifie cette égalité en utilisant la définition du logarithme népérien.
> 1. Déterminer le paramètre d'une loi exponentielle
- La densité associée à une loi exponentielle étant nulle sur l'intervalle
, nous avons alors 
Égalité somme toute logique, la durée de vie d'un moteur ne peut pas être négative. - Par définition,
est l'aire en unités d'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la loi exponentielle de paramètre 
, l'axe des abscisses et les droites d'équation 
et 
Ce qui se traduit à l'aide d'une intégrale par :
.
Une primitive de la fonction 
(sur 
, donc sur 
) étant 
, nous en déduisons que :
.
Notez bien
Pour tout réel x, pour tout réel 
.
- Comme
(égalité précisée dans l'énoncé), nous avons :
.
Remarque. 
(valeur approchée au millième).
> 2. a) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle
- L'événement contraire de l'événement
est l'événement 
. Par suite, 
- La densité associée à une loi exponentielle étant nulle sur
, nous avons 
. Cette probabilité est l'aire en unités d'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la loi exponentielle de paramètre 
, l'axe des abscisses et les droites d'équation 
et 
Ce qui se traduit à l'aide d'une intégrale par :
Notez bien
Une primitive de la fonction 
sur 
est 
.
.
- Par conséquent,
.
b) Vérifier une égalité (durée de vie sans vieillissement)
Soient 
et 
deux nombres réels positifs. Nous avons :
(événements contraires)
(raisonnement similaire à la question précédente)
Notez bien
Pour tous réels 
et 
, 
.
.
c) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle
La probabilité qu'un moteur fonctionne encore deux ans sachant qu'il a déjà fonctionné trois ans est 
D'après la question précédente, en prenant 
et 
, nous avons 
.
Mais d'après la première question 
.
Par conséquent,
d) Préciser et interpréter une espérance dans le cadre d'une loi exponentielle
Par propriété, l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre 
est 
. Il en découle que 
> 3. Prendre une décision à partir d'un intervalle de fluctuation
La proportion p de moteurs défectueux dans la production est supposée être égale à 0,01. 800 moteurs ont été prélevés dans la production, la taille n de l'échantillon est donc 800.
Comme 
et 
l'intervalle de fluctuation asymptotique est défini et donné par :
Parmi les moteurs prélevés au hasard, 15 s'avèrent être défectueux : la fréquence observée f de moteurs défectueux dans l'échantillon est donc : 
. La fréquence observée 
n'appartenant pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique,