Durée de vie et défectuosité d’un moteur

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
Durée de vie et défectuosité d’un  moteur

Lois de probabilité à densité

matT_1404_12_05C

Ens. spécifique

29

CORRIGE

Pondichéry  • Avril 2014

Exercice 1 • 4 points

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.

>1. La durée de vie, exprimée en années, d’un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre &lambda , où &lambda est un réel strictement positif.

On sait que .

Déterminer la valeur exacte du réel &lambda .

Dans la suite de l’exercice on prendra 0,081 pour valeur de &lambda .

>2. a) Déterminer .

b) Montrer que pour tous réels positifs t et h,

.

c) Le moteur a déjà fonctionné durant 3  ans. Quelle est la probabilité pour qu’il fonctionne encore 2  ans  ?

d) Calculer l’espérance de la variable aléatoire X et donner une interprétation de ce résultat.

Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à 10&minus 3.

>3. L’entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1  %. Afin de vérifier cette affirmation, 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.

Le résultat de ce test remet-il en question l’annonce de l’entreprise A  ? Justifier.

On pourra s’aider d’un intervalle de fluctuation.

Les clés du sujet

Durée conseillée  : 50 min.

Les thèmes clés

Loi exponentielle • Intervalle de fluctuation • Fonction logarithme népérien et fonction exponentielle • Primitive.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi exponentielle   E40c • E41c • E42  1., 2. a), 2. b), 2. c) et 2. d)
  • Probabilité conditionnelle   E35 • E42  2. b) et 2. c)
  • Prise de décision et intervalle de fluctuation   E43  3.
  • Intégrales et équations liées aux fonctions exponentielles   E9a • E11d • E13  1. et 2. a)

Nos coups de pouce

>1. Traduisez, à l’aide d’une intégrale, la probabilité que la variable aléatoire X prenne des valeurs inférieures ou égale à 2. Déduisez-en que l’affirmation est équivalente à Déterminez le nombre réel qui vérifie cette égalité en utilisant la définition du logarithme népérien.

>3. Identifiez la proportion p de moteurs défectueux dans la production, proportion remise en cause. Précisez la taille n de l’échantillon étudié et la fréquence observée f de moteurs défectueux dans cet échantillon. Constatez que les conditions sur n et p sont vérifiées pour définir l’intervalle de fluctuation asymptotique. Concluez à partir de l’appartenance ou non de la fréquence observée f à cet intervalle.