Durée de vie et défectuosité d’un moteur

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Pondichéry
Corpus Corpus 1
Durée de vie et défectuosité d’un moteur

Lois de probabilité à densité

matT_1404_12_05C

Ens. spécifique

29

CORRIGE

Pondichéry • Avril 2014

Exercice 1 • 4 points

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième.

>1. La durée de vie, exprimée en années, d’un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un réel strictement positif.

On sait que .

Déterminer la valeur exacte du réel λ.

Dans la suite de l’exercice on prendra 0,081 pour valeur de λ.

>2. a) Déterminer .

b) Montrer que pour tous réels positifs t et h,

.

c) Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu’il fonctionne encore 2 ans ?

d) Calculer l’espérance de la variable aléatoire X et donner une interprétation de ce résultat.

Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à 10−3.

>3. L’entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1 %. Afin de vérifier cette affirmation, 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.

Le résultat de ce test remet-il en question l’annonce de l’entreprise A ? Justifier.

On pourra s’aider d’un intervalle de fluctuation.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes clés

Loi exponentielle • Intervalle de fluctuation • Fonction logarithme népérien et fonction exponentielle • Primitive.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Propriétés associées à une variable aléatoire suivant une loi exponentielle  E40c • E41c • E42 1., 2. a), 2. b), 2. c) et 2. d)
  • Probabilité conditionnelle  E35 • E42 2. b) et 2. c)
  • Prise de décision et intervalle de fluctuation  E43 3.
  • Intégrales et équations liées aux fonctions exponentielles  E9a • E11d • E13 1. et 2. a)

Nos coups de pouce

>1. Traduisez, à l’aide d’une intégrale, la probabilité que la variable aléatoire X prenne des valeurs inférieures ou égale à 2. Déduisez-en que l’affirmation est équivalente à Déterminez le nombre réel qui vérifie cette égalité en utilisant la définition du logarithme népérien.

>3. Identifiez la proportion p de moteurs défectueux dans la production, proportion remise en cause. Précisez la taille n de l’échantillon étudié et la fréquence observée f de moteurs défectueux dans cet échantillon. Constatez que les conditions sur n et p sont vérifiées pour définir l’intervalle de fluctuation asymptotique. Concluez à partir de l’appartenance ou non de la fréquence observée f à cet intervalle.

Corrigé
Corrigé

>1. Déterminer le paramètre d’une loi exponentielle

  • La densité associée à une loi exponentielle étant nulle sur l’intervalle , nous avons alors Égalité somme toute logique, la durée de vie d’un moteur ne peut pas être négative.
  • Par définition, est l’aire en unités d’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la loi exponentielle de paramètre , l’axe des abscisses et les droites d’équation et Ce qui se traduit à l’aide d’une intégrale par :

.

Une primitive de la fonction (sur , donc sur ) étant , nous en déduisons que :

.

Notez bien

Pour tout réel x, pour tout réel

.

  • Comme (égalité précisée dans l’énoncé), nous avons :

 

 

 .

Remarque. (valeur approchée au millième).

>2. a) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle

  • L’événement contraire de l’événement est l’événement . Par suite,
  • La densité associée à une loi exponentielle étant nulle sur , nous avons . Cette probabilité est l’aire en unités d’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la loi exponentielle de paramètre , l’axe des abscisses et les droites d’équation et

Ce qui se traduit à l’aide d’une intégrale par :

Notez bien

Une primitive de la fonction sur est .

 

 .

  • Par conséquent, .

b) Vérifier une égalité (durée de vie sans vieillissement)

Soient et deux nombres réels positifs. Nous avons :

 

  (événements contraires)

  (raisonnement similaire à la question précédente)

Notez bien

Pour tous réels et , .

 

 

 .

c) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle

La probabilité qu’un moteur fonctionne encore deux ans sachant qu’il a déjà fonctionné trois ans est

D’après la question précédente, en prenant et , nous avons .

Mais d’après la première question .

Par conséquent,

d) Préciser et interpréter une espérance dans le cadre d’une loi exponentielle

Par propriété, l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre est . Il en découle que La durée de vie moyenne d’un moteur est approximativement de 12 ans et 4 mois.

>3. Prendre une décision à partir d’un intervalle de fluctuation

La proportion p de moteurs défectueux dans la production est supposée être égale à 0,01. 800 moteurs ont été prélevés dans la production, la taille n de l’échantillon est donc 800.

Comme et ­l’intervalle de fluctuation asymptotique est défini et donné par :

Parmi les moteurs prélevés au hasard, 15 s’avèrent être défectueux : la fréquence observée f de moteurs défectueux dans l’échantillon est donc : . La fréquence observée n’appartenant pas à l’intervalle de fluctuation asymptotique, le résultat de ce test remet en cause l’annonce de cette entreprise.