Probabilités conditionnelles

Ens. spécifique

matT_1706_13_04C

Polynésie française • Juin 2017

Exercice 1 • 6 points • ⏱ 1 h

Durées d'attente et satisfaction

Les thèmes clés

Loi exponentielle • Probabilités conditionnelles • Intervalle de fluctuation

La société Fibration fournit des abonnements Internet et des abonnements de téléphone mobile. Un client de la société Fibration souscrit soit un abonnement Internet, soit un abonnement de téléphone mobile, il ne cumule pas les deux. En cas de difficulté, la société Fibration propose à ses clients une ligne d'assistance téléphonique : le client doit d'abord signaler s'il est client Internet ou s'il est client mobile puis son appel est mis en attente de réponse par un opérateur.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Si nécessaire, les résultats seront arrondis à 10–3.

partie a : durée d'attente

▶ 1. Dans cette question, on s'intéresse à la durée d'attente d'un client Internet lorsqu'il contacte l'assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. Une étude permet de modéliser cette durée d'attente en minutes par la variable aléatoire D1, qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,6.

a) Quelle est la durée d'attente moyenne que peut espérer un client Internet qui appelle cette ligne d'assistance ?

b) Calculer la probabilité que la durée d'attente d'un client Internet choisi au hasard soit inférieure à 5 minutes.

▶ 2. Dans cette question, on s'intéresse à la durée d'attente d'un client mobile lorsqu'il contacte l'assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. On modélise cette durée d'attente en minutes par la variable aléatoire D2 qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, λ étant un réel strictement positif.

a) Sachant que P(D2 ≤ 4) = 0,798, déterminer la valeur de λ.

b) En prenant λ = 0,4, peut-on considérer que moins de 10 % des clients mobile choisis au hasard attendent plus de 5 minutes avant de joindre un opérateur ?

partie b : obtention d'un opérateur

Si la durée d'attente avant l'obtention d'un opérateur dépasse 5 minutes, l'appel prend automatiquement fin. Sinon, l'appelant obtient un opérateur.

On choisit au hasard un client qui appelle la ligne d'assistance.

On admet que la probabilité que l'appel émane d'un client Internet est 0,7.

De plus, d'après la partie A, on prend les données suivantes :

si l'appel provient d'un client Internet, alors la probabilité d'obtenir un opérateur est égale à 0,95

si l'appel provient d'un client mobile, alors la probabilité d'obtenir un opérateur est égale à 0,87.

▶ 1. Déterminer la probabilité que le client joigne un opérateur.

▶ 2. Un client se plaint que son appel a pris fin après 5 minutes d'attente sans avoir obtenu d'opérateur. Est-il plus probable que ce soit un client Internet ou un client mobile ?

partie c : enquête de satisfaction

La société annonce un taux de satisfaction de 85 % pour ses clients ayant appelé et obtenu un opérateur.

Une association de consommateurs souhaite vérifier ce taux et interroge 1 303 personnes. Parmi celles-ci, 1 150 se disent satisfaites. Que pensez-vous du taux de satisfaction annoncé par la société ?

Les clés du sujet

Partie A

▶ 1. a) Pensez à la notion d'espérance.

▶ 2 a) Écrivez la probabilité $P (D_{2} \leq 4)$ en fonction du paramètre λ. Résolvez ensuite, dans ℝ, l'équation induite par l'information donnée dans l'énoncé.

▶ 2. b) Calculez $P (D_{2} > 5)$ .

Partie B

▶ 1. Représentez la situation par un arbre pondéré.

▶ 2. Calculez $P_{\bar{O}} (I)$ et $P_{\bar{O}} (\bar{I})$ . Comparez-les et concluez.

Partie C

Pensez à la notion d'intervalle de fluctuation.

Corrigé

partie a

▶ 1. a) Calculer une espérance dans le cadre d'une loi exponentielle E41c

à noter

1 min correspond à 60 s $\frac{2}{3}$ min correspond à $\frac{2}{3} \times 60 = 40$ s.

La durée d'attente moyenne, exprimée en minutes, correspond à l'espérance de D1 notée $E (D_{1})$ et est égale à $\frac{1}{0,6} = \frac{5}{3} = 1 + \frac{2}{3}$ .

Cette durée d'attente moyenne est donc d'une minute et de quarante secondes.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle E40a • E40c

retenez bien !

Si D est une variable aléatoire continue, alors pour tout réel a, P(D = a) = 0.

La probabilité que la durée d'attente d'un client Internet choisi au hasard soit inférieure à cinq minutes est donnée par P(D1 5), soit P(D1 ≤ 5) car D1 suit une loi continue.

La densité f associée à la variable aléatoire D1 qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,6 est donnée par :

$f (t) = {\begin{cases} 0 si t 0 \\ 0,6 e^{- 0,6 t} si t \geq 0 \end{cases}$

retenez bien !

Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre λ > 0 sur l'intervalle $[0 + ∞ [$ est : $x \mapsto - e^{- λ x}$ .

On a alors : $\begin{matrix} P (D_{1} \leq 5) = \int_{0}^{5} 0,6 e^{- 0,6 t} d t = {[- e^{- 0,6 t}]}_{0}^{5} \\ = - e^{- 0,6 \times 5} - (- e^{- 0,6 \times 0}) \\ = 1 - e^{- 3} \approx 0,950 . \end{matrix}$

La probabilité que la durée d'attente d'un client Internet choisi au hasard soit inférieure à cinq minutes est environ 0,950.

▶ 2. a) Déterminer le paramètre d'une loi exponentielle E40a • E40c

En raisonnant de manière analogue à la question précédente, on a :

$P (D_{2} \leq 4) = {[- e^{- λ t}]}_{0}^{4} = 1 - e^{- 4 λ}$ .

D'après l'énoncé, cette probabilité, probabilité qu'un client mobile attende moins de quatre minutes lorsqu'il contacte l'assistance téléphonique avant de joindre un opérateur, est égale à 0,798.

Par suite, on a :

notez bien !

Pour tous réels a > 0 et b > 0 : $a = b \Leftrightarrow ln (a) = ln (b)$ .

Pour tout réel c : $ln (e^{c}) = c$ .

$\begin{array}{l} P (D_{2} \leq 4) = 0,798 \Leftrightarrow 1 - e^{- 4 λ} = 0,798 \\ \Leftrightarrow e^{- 4 λ} = 0,202 \\ \Leftrightarrow ln (e^{- 4 λ}) = ln (0,202) \\ \Leftrightarrow - 4 λ = ln (0,202) \\ \Leftrightarrow λ = \frac{ln (0,202)}{- 4} . \end{array}$

La valeur de $λ$ est $- \frac{ln (0,202)}{4}$ soit environ 0,4.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle E34 • E40a • E40c

La probabilité qu'un client mobile attende plus de cinq minutes lorsqu'il contacte l'assistance téléphonique avant de joindre un opérateur est $P (D_{2} > 5) .$ Les événements ${D_{2} > 5}$ et ${D_{2} \leq 5}$ étant des événements contraires, on a : $P (D_{2} > 5) = 1 - P (D_{2} \leq 5) .$ En raisonnant de manière analogue aux questions 1. b) et 2. a), il s'ensuit que :

$P (D_{2} > 5) = 1 - P (D_{2} \leq 5) = 1 - (1 - e^{- 0,4 \times 5}) = e^{- 2}$ .

Comme $e^{- 2} \approx 0,135 > 0,10$ , on ne peut pas considérer que moins de 10 % des clients mobiles choisis au hasard attendent plus de cinq minutes avant de joindre un opérateur.

partie b

▶ 1. Calculer une probabilité E34 • E37

Considérons les événements suivants :

I : « l'appel émane d'un client Internet »

O : « le client obtient un opérateur ».

à noter !

$\bar{I}$ est l'événement contraire de l'événement I : « l'appel émane d'un client mobile ».

$\bar{O}$ est l'événement contraire de l'événement O : « le client n'obtient pas un opérateur ».

La probabilité que l'appel émane d'un client Internet est 0,7 ce qui se traduit parP(I)= 0,7. Par conséquent, on a aussi $P (\bar{I}) = 1 - P (I) = 0,3$ .

Si l'appel provient d'un client Internet, alors la probabilité d'obtenir un opérateur est égale à 0,95 ce qui se traduit par $P_{I} (O) = 0,95$ . Par conséquent, on a aussi : $P_{I} (\bar{O}) = 1 - P_{I} (O) = 1 - 0,95 = 0,05$ .

Si l'appel provient d'un client mobile, alors la probabilité d'obtenir un opérateur est égale à 0,87 ce qui se traduit par $P_{\bar{I}} (O) = 0,87$ . Par conséquent, on a aussi : $P_{\bar{I}} (\bar{O}) = 1 - P_{\bar{I}} (O) = 1 - 0,87 = 0,13$ .

Nous pouvons résumer tout ceci avec l'arbre pondéré suivant :

matT_1706_13_00C_04

La probabilité demandée est la probabilité qu'un client choisi au hasard joigne un opérateur, soit $P (O)$ . D'après la formule des probabilités totales :

$\begin{matrix} P (O) = P (I \cap O) + P (\bar{I} \cap O) \\ = P (I) \times P_{I} (O) + P (\bar{I}) \times P_{\bar{I}} (O) \\ = 0,7 \times 0,95 + 0,3 \times 0,87 \\ = 0,926 . \end{matrix}$

La probabilité que le client joigne un opérateur est 0,926.

▶ 2. Calculer une probabilité conditionnelle E34 • E35 • E37

La probabilité qu'un client qui appelle la ligne d'assistance soit un client Internet sachant qu'il n'a pas obtenu d'opérateur s'écrit : $P_{\bar{O}} (I)$ . On a :

$P_{\bar{O}} (I) = \frac{P (\bar{O} \cap I)}{P (\bar{O})} = \frac{P (I) \times P_{I} (\bar{O})}{P (\bar{O})} = \frac{0,7 \times 0,05}{1 - 0,926} = \frac{35}{74} \approx 0,473$ .

La probabilité qu'un client qui appelle la ligne d'assistance soit un client mobile sachant qu'il n'a pas obtenu d'opérateur s'écrit : $P_{\bar{O}} (\bar{I})$ . On a :

$P_{\bar{O}} (\bar{I}) = \frac{P (\bar{O} \cap \bar{I})}{P (\bar{O})} = \frac{P (\bar{I}) \times P_{\bar{I}} (\bar{O})}{P (\bar{O})} = \frac{0,3 \times 0,13}{1 - 0,926} = \frac{39}{74} \approx 0,527 .$

remarque

$P_{\bar{O}} (I) + P_{\bar{O}} (\bar{I}) = 1$ .

Comme $P_{\bar{O}} (I) P_{\bar{O}}(\bar{I})$ , il est plus probable que ce soit un client mobile.

partie c

Exploiter un intervalle de fluctuation E43

D'après la société, la proportion p de clients satisfaits (ayant appelé et obtenu un opérateur) est égale à 0,85. L'association de consommateurs a, quant à elle, interrogé 1 303 personnes : la taille de l'échantillon considéré ici est par suite n = 1 303.

Comme n = 1 303 ≥ 30, n × p = 1 303 × 0,85 = 1 107,55 ≥ 5 et $n \times (1 - p) = 1 303 \times 0,15 = 195,45 \geq 5$ , l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 pour la fréquence de clients satisfaits dans un échantillon de taille 1 303 est ainsi défini et donné par :

$\begin{matrix} I = [p - 1,96 \sqrt[]{\frac{p \times (1 - p)}{n}} p + 1,96 \sqrt[]{\frac{p \times (1 - p)}{n}}] \\ = [0,85 - 1,96 \sqrt[]{\frac{0,85 \times 0,15}{1 303}} 0,85 + 1,96 \sqrt[]{\frac{0,85 \times 0,15}{1 303}}] \\ \approx [0,831 0,869] . \end{matrix}$

La fréquence de clients satisfaits dans l'échantillon considéré par l'association de consommateurs est égale à $f = \frac{1 150}{1 303} \approx 0,883$ .

Comme f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique I, on peut remettre en question l'annonce de la société avec un risque de 5 % de se tromper.