Effet Doppler et astrophysique

Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

Caractéristiques et propriétés des ondes

Corrigé

Observer

pchT_1306_13_00C

Polynésie française • Juin 2013

Exercice 2 • 6 points

L’effet Doppler constitue un moyen d’investigation utilisé en astrophysique. Il permet de déterminer la vitesse des astres à partir de l’analyse spectrale de la lumière que ceux-ci émettent. Cet exercice s’intéresse à deux applications distinctes, à savoir le modèle d’Univers en expansion et la détection d’une étoile double « spectroscopique ».

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Donnée : 1 Å = 0,1nm.

Document 1

Principe de l’effet Doppler

On note λ₀ la longueur d’onde de référence de la raie étudiée dans le spectre (source immobile par rapport à l’observateur) et λ la longueur d’onde de la radiation émise par la source en mouvement. Lorsqu’une étoile s’éloigne de la Terre, on observe un décalage vers les grandes longueurs d’onde appelé « redschift » et caractérisé par le nombre $z = \frac{λ - λ_{0}}{λ_{0}}$ .

La formule de Doppler donne la vitesse d’éloignement v de la source lumineuse par rapport à l’observateur terrestre dans le cas non relativiste :

$v = c \frac{λ - λ_{0}}{λ_{0}}$

c est la célérité de la lumière dans le vide (c = 2,99792 × 10⁸m . s^–1).

Document 2

Décalage vers le rouge

En 1930, Edwin Hubble avait constaté expérimentalement que plus les galaxies étaient lointaines, plus leur spectre présentait un décalage vers le rouge important. Le « décalage vers le rouge », qui sera appelé « redshift » apparaît, quand il est petit, comme proportionnel à la distance $z = \frac{H_{0} d}{c}$ où H₀ est une constante appelée constante de Hubble. Ce décalage est traditionnellement interprété comme dû à la vitesse d’éloignement des galaxies. Cette interprétation, si elle est vraie pour les « redshifts » petits est en fait fondamentalement erronée dans une perspective de relativité générale. Les « redshifts » observés vont d’une fraction de l’unité pour la plupart des galaxies à 4 ou 5 pour les objets les plus lointains, quasars, ou certaines autres galaxies.

D’après Cosmologie. Des fondements théoriques aux observations, Francis Bernardeau (CNRS Éditions – EDP sciences)

Document 3

Évolution temporelle de la position de la raie Hα dans le spectre de l’étoile HD 80715

Crédit : « observatoire de Paris/U.F.E. »

Document 4

Effet du mouvement des deux composantes d’une étoile double sur une raie d’absorption si l’axe reliant les deux étoiles est perpendiculaire à l’axe de visée

a) Configuration b) Spectre observé (extrait)

On note λA la longueur d’onde de la raie provenant du spectre de l’étoile A et λB la longueur d’onde de la raie provenant du spectre de l’étoile B.

Document 5

Extrait du spectre de NGC 691

Source : observatoire de Haute Provence, logiciel libre SalsaJ.

1. Preuve de l’expansion de l’Univers

1 En utilisant le document 5, déterminer la longueur d’onde médiane du doublet de Ca⁺dans le spectre de la galaxie nommée NGC 691. Sachant que la longueur d’onde médiane λ₀ de ce doublet mesurée sur Terre pour une source au repos est de 5 268 Å, calculer le « redshift » z caractérisant le décalage vers le rouge de cette galaxie, défini dans le document 1.

2 Calculer la vitesse d’éloignement de la galaxie NGC 691 par rapport à la Terre.

3 À l’aide des documents 1 et 2, établir dans le cas non relativiste, la relation entre la vitesse d’éloignement v de la galaxie et sa distance d à la Terre, montrant que v est proportionnelle à d.

4 À partir des valeurs du nombre z données dans le document 2, montrer que l’expression utilisée pour calculer la vitesse d’éloignement des galaxies donnée dans le document 1 n’est pas applicable dans tous les cas.

2. Détection d’une étoile double « spectroscopique ».

On appelle « étoile double » un système stellaire composé de deux étoiles proches en orbite autour du même point (ce point étant le centre d’inertie G du système). Une étoile double « spectroscopique » est constituée de deux astres trop proches pour être séparés par un télescope optique et ne peut être détectée que par l’étude de son spectre à haute résolution. Le mouvement des deux étoiles provoque en effet un léger déplacement des raies d’absorption du spectre par effet Doppler.

Dans les questions suivantes, on suppose que les deux étoiles A et B décrivent des orbites circulaires de même rayon R, avec la même valeur de vitesse v = v_A = v_B. La période de rotation commune aux deux étoiles A et B est notée T : c’est la période de l’étoile double.

1 Expliquer pourquoi, dans la situation décrite sur le document 4, on a λ_A > λ_B.

2 Sachant que l’effet Doppler ne se manifeste pas lorsque le vecteur vitesse de la source est perpendiculaire à la direction de visée, compléter en justifiant le tableau de l’annexe. Schématiser sans souci d’échelle le spectre correspondant à chaque configuration et montrer que l’évolution temporelle de ces spectres est périodique, de période T/2.

3 En utilisant les spectres du document 3 qui montrent l’évolution temporelle de la position de la raie Hα dans le spectre de l’étoile double HD 80715, vérifier que la période T de celle-ci est voisine de 3,8 jours.

Annexe

Pour chaque proposition, indiquer la (les) configuration(s) correcte(s).

Relation entre λ_A et λ_B	λ_A = λ_B	λ_A> λ_B	λ_A< λ_B
Configuration(s)

Sur ces schémas, l’observateur n’est pas représenté car il est à une très grande distance.

Notions et compétences en jeu

Savoir extraire des informations • Savoir effectuer une lecture graphique • Savoir appliquer une formule mathématique • Savoir pratiquer une démarche scientifique.

Conseils du correcteur

Partie 1

3 Utilisez les deux formules littérales.

4 Appliquez la formule du document 1.

Partie 2

2 Utilisez la définition d’une période.

3 Pensez à calculer une valeur moyenne.

Corrigé

1. Preuve de l’expansion de l’Univers

1 Déterminer une longueur d’onde et un redshift

Sur le document 5, on lit λ = 5 315 Å.

D’après la formule du document 1, le redshift est :

z = $\frac{5 315 - 5 268}{5 268}$ = 8,92 × 10^–3.

2 Calculer la vitesse d’éloignement de la galaxie

D’après la formule du document 1, la vitesse d’éloignement de la galaxie est :

v = c $\frac{λ - λ_{0}}{λ_{0}}$ = cz

v = 2,99792 × 10⁸ × 9 × 10^–3 = 3 × 10⁶ m . s^–1.

3 Établir une relation

Notez bien

Deux grandeurs x et y sont proportionnelles si y = ax où a est une constante.

D’après le document 1, v = cz.

D’après le document 2, z = H₀ _{$\frac{d}{c}$}.

Donc v = c H₀ _{$\frac{d}{c}$} = H₀d.

La vitesse est donc proportionnelle à la distance d puisque H₀ est une constante.

4 Déterminer les conditions d’utilisation d’une relation

Notez bien

La vitesse de la lumière est une vitesse limite.

D’après le document 2, pour des objets très lointains, z peut être égal à 4 ou 5. Or v = cz, ce qui induit qu’alors v = 4c ou v = 5c.

Ceci est impossible. v est forcément inférieure à c.

Le modèle n’est donc pas valide.

2. Détection d’une étoile double « spectroscopique »

1 Justifier une relation

D’après le document 1, quand un objet s’éloigne, la longueur d’onde perçue λ est supérieure à sa longueur d’onde λ₀.

D’après le schéma du document 4, A s’éloigne donc λ_A > λ₀ et B s’approche donc λ₀< λ_B.

Donc on a bien λ_A > λ_B.

2 Schématiser des spectres et leur évolution temporelle

La configuration 1 correspond au cas de la question précédente où λ_A > λ_B. Pour les configurations 2 et 4, l’effet Doppler ne se manifeste pas puisque les vecteurs vitesse sont perpendiculaires à l’axe de visée.

Relation entre λ_A et λ_B	λ_A = λ_B	λ_A> λ_B	λ_A< λ_B
Configuration(s)	2 et 4	1	3
Spectres

Les deux étoiles tournent l’une autour de l’autre. Les configurations se succèdent dans l’ordre suivant configuration 1 puis 2, puis 3 puis 4. Pour revenir à la configuration 1, il faut une durée T. Pour passer de la configuration 1 à la 3, il faut donc une durée $\frac{T}{2}$ .

3 Valider la valeur de la période

Notez bien

Une période est la durée nécessaire pour que le phénomène physique se reproduise identique à lui-même.

Sur le document 3, on retrouve des spectres identiques (correspondant à la configuration 2 ou 4) pour t = 0,061 j ; pour t = 1,886 j et pour t = 2,038 j.

Dans ces 2 cas, on peut calculer la durée de la demi-période :

Cas 1 : $\frac{T}{2}$  = 1,886 – 0,661 = 1,825 donc T = 2 × 1,825 = 3,650 j.

Cas 2 : $\frac{T}{2}$  = 2,038 – 0,061 = 1,977 donc T = 2 × 1,977 = 3,954 j.

La moyenne de ces deux valeurs est $T = \frac{(3,954 + 3,650)}{2} = 3,802 j$ .

On retrouve bien une valeur voisine de 3,8 j.

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Effet Doppler et astrophysique

1. Preuve de l’expansion de l’Univers