Egalités entre somme et produit

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2017

Exercice 3 • 5 points • 1 h

Égalités entre somme et produit

Les thèmes clés

Suites • Algorithmique

 

Le but de cet exercice est d’étudier les suites de termes positifs dont le premier terme u0 est strictement supérieur à 1 et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel n > 0, la somme des premiers termes consécutifs est égale au produit des premiers termes consécutifs. On admet qu’une telle suite existe et on la note (un). Elle vérifie donc trois propriétés :

u0 > 1 ;

pour tout n  0, un  0 ;

pour tout n > 0, u0 + u1 + … + un – 1 = u0 × u1 ×× un – 1.

1. On choisit u0 = 3. Déterminer u1 et u2.

2. Pour tout entier n > 0, on note :

sn = u0 + u1 + … + un–1 = u0 × u1 ×× un–1.

On a en particulier s1 = u0.

a) Vérifier que pour tout entier n > 0, sn+1 = sn + un et sn > 1.

b) En déduire que pour tout entier n > 0 :

un=snsn1.

c) Montrer que pour tout n  0, un > 1.

3. À l’aide de l’algorithme ci-dessous, on veut calculer le terme un pour une valeur de n donnée.

a) Recopier et compléter la partie traitement de l’algorithme ci-dessous.

S07_algo_001

b) Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies au millième de un pour différentes valeurs de l’entier n :

n

0

5

10

20

30

40

un

3

1,140

1,079

1,043

1,030

1,023

Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (un) ?

4. a) Justifier que pour tout entier n > 0, sn > n.

b) En déduire la limite de la suite (sn) puis celle de la suite (un).

Les clés du sujet

2. b) Justifiez, à l’aide de la définition par le produit, que pour tout entier n > 0, sn+1 = sn × un. Puis, utilisez l’égalité justifiée à la question 2. a) qui exprime le terme sn+1 comme somme de deux termes. Enfin, concluez.

c) Constatez que l’inégalité est vraie pour n = 0. Justifiez ensuite que pour tout n > 0, un=1+1sn1. Concluez à l’aide de la question 2. a).

4. a) Pensez à un raisonnement par récurrence.

b) Pour déterminer la limite de la suite (un), justifiez au préalable que pour tout entier naturel n > 0, un=111sn.