Annale corrigée Exercice

Egalités entre somme et produit

Suites numériques

Égalités entre somme et produit

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  Étudiez des propriétés d'une suite définie de telle sorte que la somme de ses n premiers termes soit égale au produit de ses n premiers termes. Puis calculez ses termes à l'aide d'un algorithme.

 

Le but de cet exercice est d'étudier les suites de termes positifs dont le premier terme u0 est strictement supérieur à 1 et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel n > 0, la somme des premiers termes consécutifs est égale au produit des premiers termes consécutifs. On admet qu'une telle suite existe et on la note (un). Elle vérifie donc trois propriétés :

u0 > 1 ;

pour tout n ≥ 0, un ≥ 0 ;

pour tout n > 0, u0u1 + … + un – 1 = u0 × u1 × … × un – 1.

1. On choisit u0 = 3. Déterminer u1 et u2.

2. Pour tout entier n > 0, on note :

sn = u0u1 + … + un–1 = u0 × u1 × … × un–1.

On a en particulier s1 = u0.

a) Vérifier que pour tout entier n > 0, sn+1 = snun et sn > 1.

b) En déduire que pour tout entier n > 0 :

un=snsn1.

c) Montrer que pour tout n ≥ 0, un > 1.

3. À l'aide de l'algorithme ci-après, on veut calculer le terme un pour une valeur de n donnée.

a) Recopier et compléter la partie traitement de l'algorithme ci-dessous.

S07_algo_001

b) Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies au millième de un pour différentes valeurs de l'entier n :

Tableau de 2 lignes, 7 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : n; 0; 5; 10; 20; 30; 40; Ligne 2 : un; 3; 1,140; 1,079; 1,043; 1,030; 1,023;

Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (un) ?

4. a) Justifier que pour tout entier n > 0, sn n.

b) En déduire la limite de la suite (sn) puis celle de la suite (un).

Les clés du sujet

2. b) Justifiez, à l'aide de la définition par le produit, que pour tout entier n > 0, sn+1 = sn × un. Puis, utilisez l'égalité de la question 2. a) qui exprime le terme sn+1 comme somme de deux termes. Enfin, concluez.

c) Constatez que l'inégalité est vraie pour n = 0. Justifiez ensuite que pour tout n > 0, un=1+1sn1. Concluez à l'aide de la question 2. a).

4. a) Pensez à un raisonnement par récurrence.

b) Pour déterminer la limite de la suite un, justifiez au préalable que pour tout entier naturel n > 0, un=111sn.

1. Déterminer des termes d'une suite

Par la troisième propriété, pour n = 2 > 0, on a u0u1 = u0 × u1. En choisissant u0 = 3 > 1, on a : 3+u1=3×u13=2u1u1=32.

Par la troisième propriété, pour n = 3 > 0, on a :

u0u1u2 = u0 × u1 × u2.

Comme u0 = 3 et u1=32, on a : 3+32+u2=3×32×u292+u2=92u292=72u2u2=92×27=97.

On a donc u1=32 et u2=97.

2. a) Justifier des propriétés

Soit un entier n > 0. On a :

sn+1=u0+u1++un=u0+u1++un1+un=(u0+u1++un1)+un=sn+un.

On a sn=u0+u1++un1=u0+(u1++un1).

Par la première propriété, u0 > 1, on a alors : sn>1+(u1++un1). De plus, d'après la deuxième propriété, les termes entre parenthèses sont tous positifs ou nuls. Ainsi, sn>1+(u1++un1)1+01.

Nous en concluons que pour tout entier n>0, sn+1=sn+un et sn>1.

b) Justifier une égalité

Soit un entier n > 0. Par définition de la suite (sn) à l'aide du produit, on a :

sn+1=u0×u1××un=u0×u1××un1×un=(u0×u1××un1)×un=sn×un.

Or, par la question précédente, on a sn+1 = snun. Il en découle que sn × un = snun et par suite : sn×unun=snun×(sn1)=snsn1un=snsn1.

Nous en concluons que pour tout entier n>0, un=snsn1.

c) Justifier une inégalité

Par la première propriété, u0 > 1. L'inégalité est ainsi vérifiée pour n = 0.

Soit un entier n > 0. Par la question 2. b), on a :

un=snsn1=sn1+1sn1=sn1sn1+1sn1=1+1sn1.

Comme sn > 1 (question 2. a)), on a sn - 1 > 0. Son inverse 1sn1 est ainsi également strictement positif. Par suite, un=1+1sn1>1.

Nous en concluons que pour tout entier n0, un>1.

3. a) Compléter un algorithme

La première valeur stockée dans la variable u est u0 (phase d'entrée : « Saisir u ») et la première valeur stockée dans la variable s est s1 = u0 (phase de traitement : « s prend la valeur u »). Si la valeur de n saisie est non nulle, n > 0, les termes de la suite (un) et (sn) sont ensuite successivement calculés (structure itérative Pour). Pour tout entier n > 0, par la question 2. b), un=snsn1 et par la question 2. a), sn+1 = snun. La phase de traitement est donc :

S07_algo_002

b) Émettre une conjecture

Plus l'entier n est grand, plus le terme un semble se rapprocher de l'entier 1.

On peut donc conjecturer que la suite (un) converge vers 1.

4. a) Démontrer une propriété par récurrence

Soit P(n) la propriété : snn.

Démontrons par récurrence que la propriété P(n) est vraie pour tout entier n > 0.

Initialisation : pour n = 1, s1 = u0 et par la première propriété, u0 > 1. Donc P(1) est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité : supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier k > 0 donné : sk > k.

Démontrons que la propriété P(k+1) est vraie. Nous avons sk+1 = sk + uk d'après la question 2. a). D'après l'hypothèse de récurrence, sk+1 > kuk, et d'après la question 2. c), sk+1 > k + 1.

La propriété P(k + 1) est donc vraie.

Conclusion : pour tout entier n>0, sn>n.

b) Déterminer des limites de suites

Par la question précédente, pour tout entier n > 0, snn. Comme limn+n=+, par le théorème de comparaison, on en déduit que : limn+sn=+.

Par la question 2. b), pour tout entier n > 0, comme sn ≠ 0, on a :

un=snsn1=snsn11sn=111sn.

Comme limn+sn=+, on a : limn+1sn=0. Par différence et par quotient, on en déduit que : limn+un=1.

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