▶ 1. Déterminer des termes d'une suite

Par la troisième propriété, pour n = 2 > 0, on a u₀ + u₁ = u₀ × u₁. En choisissant u₀ = 3 > 1, on a : $3+u_1=3\times u_1\iff 3=2u_1\iff u_1=\frac{3}{2}$.

Par la troisième propriété, pour n = 3 > 0, on a :

u₀ + u₁ + u₂ = u₀ × u₁ × u₂.

Comme u₀ = 3 et $u_1=\frac{3}{2}$, on a : $3+\frac{3}{2}+u_2=3\times \frac{3}{2}\times u_2\iff \frac{9}{2}+u_2=\frac{9}{2}{u}_2\iff \frac{9}{2}=\frac{7}{2}{u}_2\iff u_2=\frac{9}{2}\times \frac{2}{7}=\frac{9}{7}.$

On a donc $u_1=\frac{3}{2}$ et $u_2=\frac{9}{7}$.

▶ 2. a) Justifier des propriétés

Soit un entier n > 0. On a :

$\begin{array}{c}{s}_{n+1}=u_0+u_1+\dots +u_n=u_0+u_1+\dots +u_{n-1}+u_n\\ =(u_0+u_1+\dots +u_{n-1})+u_n=s_n+u_n.\end{array}$

On a $s_n=u_0+u_1+\dots +u_{n-1}=u_0+(u_1+\dots +u_{n-1})$.

Par la première propriété, u₀ > 1, on a alors : $s_n\text{>}1+(u_1+\dots +u_{n-1})$. De plus, d'après la deuxième propriété, les termes entre parenthèses sont tous positifs ou nuls. Ainsi, $s_n\text{>}1+(u_1+\cdots +u_{n-1})\text{≥}1+0\text{≥}1$.

Nous en concluons que pour tout entier $n\text{>}0$, $s_{n+1}=s_n+u_n$ et $s_n\text{>}1$.

b) Justifier une égalité

Soit un entier n > 0. Par définition de la suite $(s_n)$ à l'aide du produit, on a :

$\begin{array}{c}{s}_{n+1}=u_0\times u_1\times \dots \times u_n=u_0\times u_1\times \dots \times u_{n-1}\times u_n\\ =(u_0\times u_1\times \dots \times u_{n-1})\times u_n=s_n\times u_n.\end{array}$

Or, par la question précédente, on a s_n+1 = s_n + u_n. Il en découle que s_n × u_n = s_n + u_n et par suite : $s_n\times u_n-u_n=s_n\iff u_n\times (s_n-1)=s_n\underset{s_n\ne 1}{\iff }{u}_n=\frac{s_n}{s_n-1}$.

Nous en concluons que pour tout entier $n\text{>}0$, $u_n=\frac{s_n}{s_n-1}$.

c) Justifier une inégalité

Par la première propriété, u₀ > 1. L'inégalité est ainsi vérifiée pour n = 0.

Soit un entier n > 0. Par la question 2. b), on a :

$u_n=\frac{s_n}{s_n-1}=\frac{s_n-1+1}{s_n-1}=\frac{s_n-1}{s_n-1}+\frac{1}{s_n-1}=1+\frac{1}{s_n-1}$.

Comme s_n > 1 (question 2. a)), on a s_n - 1 > 0. Son inverse $\frac{1}{s_n-1}$ est ainsi également strictement positif. Par suite, $u_n=1+\frac{1}{s_n-1}\text{>}1$.

Nous en concluons que pour tout entier $n\text{≥}0$, $u_n\text{>}1$.

▶ 3. a) Compléter un algorithme

La première valeur stockée dans la variable u est u₀ (phase d'entrée : « Saisir u ») et la première valeur stockée dans la variable s est s₁ = u₀ (phase de traitement : « s prend la valeur u »). Si la valeur de n saisie est non nulle, n > 0, les termes de la suite $(u_n)$ et $(s_n)$ sont ensuite successivement calculés (structure itérative Pour). Pour tout entier n > 0, par la question 2. b), $u_n=\frac{s_n}{s_n-1}$ et par la question 2. a), s_n+1 = s_n + u_n. La phase de traitement est donc :

b) Émettre une conjecture

Plus l'entier n est grand, plus le terme u_n semble se rapprocher de l'entier 1.

On peut donc conjecturer que la suite $(u_n)$ converge vers 1.

▶ 4. a) Démontrer une propriété par récurrence

Soit $P(n)$ la propriété : s_n > n.

Démontrons par récurrence que la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier n > 0.

Initialisation : pour n = 1, s₁ = u₀ et par la première propriété, u₀ > 1. Donc P(1) est vraie. La propriété est ainsi initialisée.

Hérédité : supposons que la propriété $P(k)$ soit vraie pour un entier k > 0 donné : s_k > k.

Démontrons que la propriété $P(k+1)$ est vraie. Nous avons s_k+1 = s_k + u_k d'après la question 2. a). D'après l'hypothèse de récurrence, s_k+1 > k + u_k, et d'après la question 2. c), s_k+1 > k + 1.

La propriété P(k + 1) est donc vraie.

Conclusion : pour tout entier $n\text{>}0$, $s_n\text{>}n$.

b) Déterminer des limites de suites

Par la question précédente, pour tout entier n > 0, s_n > n. Comme $\underset{n\to +\text{∞}}{\text{lim}}n=+\text{∞}$, par le théorème de comparaison, on en déduit que : $\underset{n\to +\text{∞}}{\text{lim}}{s}_n=+\text{∞}$.

Par la question 2. b), pour tout entier n > 0, comme s_n ≠ 0, on a :

$u_n=\frac{s_n}{s_n-1}=\frac{s_n}{s_n\left(1-\frac{1}{s_n}\right)}=\frac{1}{1-\frac{1}{s_n}}$.

Comme $\underset{n\to +\text{∞}}{\text{lim}}{s}_n=+\text{∞}$, on a : $\underset{n\to +\text{∞}}{\text{lim}}\frac{1}{s_n}=0$. Par différence et par quotient, on en déduit que : $\underset{n\to +\text{∞}}{\text{lim}}{u}_n=1$.