Élèves inscrits à l'association sportive et élèves fumeurs

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord

 

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Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 2 • 5 points

Élèves inscrits à l’association sportive et élèves fumeurs

Les parties A et B sont indépendantes.

Dans un grand collège, 20,3 % des élèves sont inscrits à l’association sportive.

Une enquête a montré que 17,8 % des élèves de ce collège sont fumeurs.

De plus, parmi les élèves non fumeurs, 22,5 % sont inscrits à l’association sportive.

On choisit au hasard un élève de ce collège. On note :

4050616-Eqn23 l’événement « l’élève choisi est inscrit à l’association sportive » ;

4050616-Eqn24 l’événement « l’élève choisi est fumeur ».

Rappel des notations :

Si 4050616-Eqn25 et 4050616-Eqn26 sont deux événements, 4050616-Eqn27 désigne la probabilité de l’événement 4050616-Eqn28 et 4050616-Eqn29 désigne la probabilité de l’événement 4050616-Eqn30 sachant que l’événement 4050616-Eqn31 est réalisé.

On note 4050616-Eqn32 l’événement contraire de 4050616-Eqn33.

Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

partie A

 1. D’après les données de l’énoncé, préciser les valeurs des probabilités 4050616-Eqn34 et 4050616-Eqn35. (0,5 point)

 2. Recopier l’arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante. (0,5 point)

matT_1506_02_01C_01

 3. Calculer la probabilité de l’événement 4050616-Eqn36 et interpréter ce résultat. (1 point)

 4. On choisit un élève au hasard parmi ceux inscrits à l’association sportive. Calculer la probabilité que cet élève soit non fumeur. (0,5 point)

 5. On choisit un élève au hasard parmi les élèves fumeurs. Montrer que la probabilité que cet élève soit inscrit à l’association sportive est 0,101. (1 point)

partie B

Une loterie, à laquelle tous les élèves du collège participent, est organisée pour la journée anniversaire de la création du collège. Quatre lots sont offerts. On admet que le nombre d’élèves est suffisamment grand pour que cette situation soit assimilée à un tirage avec remise.

On rappelle que 20,3 % de l’ensemble des élèves sont inscrits à l’association sportive.

En justifiant la démarche, calculer la probabilité que parmi, les quatre élèves gagnants, il y en ait au moins un qui soit inscrit à l’association sportive. (1,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Loi binomiale.

Les conseils du correcteur

Partie A

 2. Les deux premières probabilités sont des probabilités simples, les deux autres sont des probabilités conditionnelles.

 4. et 5. Les probabilités demandées sont des probabilités conditionnelles.

Corrigé

Corrigé

Partie A

 1. Préciser d’après l’énoncé les valeurs de deux probabilités

20,3 % des élèves du collège sont inscrits à l’association sportive, d’où :

4050616-Eqn169

Parmi les élèves non fumeurs, 22,5 % sont inscrits à l’association sportive, d’où :

4050616-Eqn170

 2. Compléter un arbre de probabilités

matT_1506_02_01C_06

Les probabilités sont indiquées en vert sur l’arbre.

4050616-Eqn171 car, d’après l’énoncé, 17,8 % des élèves du collège sont fumeurs.

On en déduit 4050616-Eqn172.

Les deux autres probabilités indiquées sont les probabilités conditionnelles :

4050616-Eqn173 et 4050616-Eqn174.

 3. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

Attention !

La probabilité calculée est la probabilité de l’intersection de deux événements. Elle ne doit pas être confondue avec une probabilité conditionnelle.

D’après l’arbre ci-dessus :

4050616-Eqn175 en arrondissant au millième.

Environ 18,5 % des élèves du collège sont des non fumeurs inscrits à l’association sportive.

 4. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité demandée est 4050616-Eqn176 car l’élève est choisi parmi ceux inscrits à l’association sportive.

Par définition d’une probabilité conditionnelle , 4050616-Eqn177 étant non nulle :

4050616-Eqn178

4050616-Eqn179

4050616-Eqn180

 5. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité demandée est 4050616-Eqn181 car l’élève est choisi parmi les élèves fumeurs.

Par définition d’une probabilité conditionnelle, 4050616-Eqn182 étant non nulle :

4050616-Eqn183

Or 4050616-Eqn184 car 4050616-Eqn185 et 4050616-Eqn186 forment une partition de l’univers, d’où :

4050616-Eqn187.

D’où, en arrondissant au millième :

4050616-Eqn188

Partie B

 Calculer une probabilité à partir d’une variable aléatoire à définir

On peut assimiler l’expérience (le « choix » des quatre gagnants) à la répétition de quatre épreuves (choix d’un élève au hasard parmi les élèves du collège) successives, identiques et indépendantes, correspondant au « choix » des quatre gagnants.

Pour chacune de ces épreuves, on appelle « succès » l’événement 4050616-Eqn189 « l’élève choisi est inscrit à l’association sportive » ; la probabilité de succès est 4050616-Eqn190.

On appelle 4050616-Eqn191 la variable aléatoire égale au nombre d’élèves inscrits à l’association sportive parmi les quatre gagnants, c’est-à-dire égale au nombre de succès lors de la répétition de quatre épreuves successives identiques et indépendantes.

4050616-Eqn192 suit la loi binomiale de paramètres 4050616-Eqn193 et 4050616-Eqn194.

La probabilité que, parmi les quatre élèves gagnants, il y en ait au moins un qui soit inscrit à l’association sportive est 4050616-Eqn195

4050616-Eqn196

4050616-Eqn197

4050616-Eqn198