Encore un mélange !

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : QCM et vrai/faux
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Afrique


Afrique • Juin 2016

Exercice 1 • 4 points

Encore un mélange !

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

▶ 1. Dans une boulangerie industrielle, on prélève au hasard une baguette de pain dans la production.

On admet que la variable aléatoire exprimant sa masse, en grammes, suit la loi normale d’espérance 200 et d’écart type 10.

Affirmation 1. La probabilité que la masse de la baguette soit supérieure à 187 g est supérieure à 0,9.

▶ 2. Affirmation 2. L’équation x − cos = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0;π2].

Dans les questions 3. et 4., l’espace est rapporté à un repère orthonormal et l’on considère les droites D1 et D2 qui admettent pour représentations paramétriques respectives :

{x=1+2ty=23ttz=4t, et {x=5t+3y=2tz=t+4,t

▶ 3. Affirmation 3. Les droites D1 et D2 sont sécantes.

▶ 4. Affirmation 4. La droite D1 est parallèle au plan P d’équation x + 2y + z − 3 = 0.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Probabilités • Fonction cosinus • Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Loi normale  E40a • E40e • C3  1.

Fonction cosinus  E10a • E10b • E10e  2.

Continuité  E7b • E7c  2.

Dérivée  E6c • E6e • E6f  2.

Droites et plans  E24a • E24b • E30 • E33c  3. et 4.

Produit scalaire  E31c • E32a  4.

Nos coups de pouce

 2. Pensez à utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. N’oubliez pas au préalable de vérifier les conditions justifiant son utilisation.

 4. Précisez les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite D1 et celles d’un vecteur normal au plan P. Calculez leur produit scalaire et concluez.

Corrigé

Corrigé

▶ 1. Déterminer une probabilité avec une loi normale

Notons M la variable aléatoire qui, à une baguette choisie au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Alors, la probabilité demandée s’écrit à l’aide de la variable M de la manière suivante : P(187M). Comme Msuit la loi normale d’espérance 200 et que la courbe représentative de la densité associée à cette loi normale est symétrique par rapport à la droite d’équation x=200, nous avons :

P(M187)=P(187M200)+P(200M)                    =P(187M200)+0,5.

Notez bien

Calcul de P(aXb) avec X𝒩(μ;σ2).

Syntaxe pour la TI 83 Plus.fr :

NormalFrép(a,b,μ,σ).

Syntaxe pour la CASIO Graph 75 :

NormCD(a,b,σ,μ).

Or, à l’aide de la calculatrice :

TI 83 +

CASIO GRAPH 75

matT_1606_01_00C_05

matT_1606_01_00C_06

Ainsi, P(M187)0,403+0,5=0,903.L’affirmation 1 est vraie.

▶ 2. Justifier l’unicité d’une solution

Notons I l’intervalle [0 ; π2] et f la fonction définie sur I par f(x)=xcosx.

La fonction f étant dérivable sur I comme différence de deux fonctions dérivables, sa dérivée f est définie sur I et elle est donnée par f(x)=1(sinx)=1+sinx. Comme la fonction sinus est positive sur I, nous avons : f(x)=1+sinx1.

La fonction f étant strictement positive sur I, la fonction f est strictement croissante sur I.

Par le point précédent, la fonction f est dérivable sur I. La fonction f est ainsi continue sur cet intervalle.

Nous avons f(0)=0cos(0)=01=1 et f(π2)=π2cos(π2)=π20=π2.

Par suite, 0 est bien compris entre f(0)=1<0 et f(π2)=π2>0.

Ainsi, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=0 admet une unique solution dans I.

L’affirmation 2 est vraie.

▶ 3. Étudier la position relative de deux droites dans l’espace

Un point M(x;y;z) appartient aux droites D1 et D2 si et seulement si il existe un réel t et un réel t tels que {x=1+2ty=23tz=4t et {x=5t+3y=2tz=t+4.

Ce qui implique {1+2t=5t+323t=2t4t=t+4.

Or, par équivalence :

{1+2t=5t+323t=2t4t=t+4{1+2t=5t+323t=2×(4t4)4t4=t{2t+5t=210=11t4t4=t{2×1011+5×(411)=2t=1011t=411

Cela conduit à la contradiction suivante : 0=2. Par conséquent, il n’existe pas de point M de l’espace appartenant aux deux droites. Ces droites ne sont ainsi pas sécantes.

L’affirmation 3 est fausse.

▶ 4. Étudier la position relative d’une droite et d’un plan

Le plan P a pour équation cartésienne x+2y+z3=0. Un vecteur normal à ce plan est, par suite, le vecteur n de coordonnées (1;2;1).

La droite D1 admet pour représentation paramétrique :

{x=1+2ty=23ttz=4t, qui s’écrit également {x=1+2×ty=23×ttz=0+4×t.

Un vecteur directeur de cette droite est, par suite, le vecteur u de coordonnées (2;3;4).

Comme nu=1×2+2×(3)+1×4=0, les vecteurs n et u sont orthogonaux. La droite D1 est donc parallèle au plan P.

L’affirmation 4 est vraie.