Vrai/faux sur tout le programme
matT_1606_01_04C
Ens. spécifique
38
Afrique • Juin 2016
Exercice 1 • 4 points • ⏱ 40 min
Encore un mélange !
Les thèmes clés
Probabilités • Fonctions cosinus • Géométrie dans l'espace
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
▶ 1. Dans une boulangerie industrielle, on prélève au hasard une baguette de pain dans la production.
On admet que la variable aléatoire exprimant sa masse, en grammes, suit la loi normale d'espérance 200 et d'écart type 10.
Affirmation 1. La probabilité que la masse de la baguette soit supérieure à 187 g est supérieure à 0,9.
▶ 2. Affirmation 2. L'équation x − cos x = 0 admet une unique solution dans l'intervalle .
Dans les questions 3. et 4., l'espace est rapporté à un repère orthonormal et l'on considère les droites D1 et D2 qui admettent pour représentations paramétriques respectives :
, et
▶ 3. Affirmation 3. Les droites D1 et D2 sont sécantes.
▶ 4. Affirmation 4. La droite D1 est parallèle au plan P d'équation x + 2y + z − 3 = 0.
Les clés du sujet
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Loi normale E40a • E40e • C3 → 1.
Fonction cosinus E10a • E10b • E10e → 2.
Continuité E7b • E7c → 2.
Dérivée E6c • E6e • E6f → 2.
Droites et plans E24a • E24b • E30 • E33c → 3. et 4.
Produit scalaire E31c • E32a → 4.
Nos coups de pouce
▶ 2. Pensez à utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. N'oubliez pas au préalable de vérifier les conditions justifiant son utilisation.
▶ 4. Précisez les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite D et celles d'un vecteur normal au plan P. Calculez leur produit scalaire et concluez.
Corrigé
▶ 1. Déterminer une probabilité avec une loi normale
Notons la variable aléatoire qui, à une baguette choisie au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Alors, la probabilité demandée s'écrit à l'aide de la variable de la manière suivante : Comme suit la loi normale d'espérance 200 et que la courbe représentative de la densité associée à cette loi normale est symétrique par rapport à la droite d'équation nous avons :
Notez bien
Calcul de avec
Syntaxe pour la TI 83 Plus.fr :
NormalFrép
Syntaxe pour la CASIO Graph 75 :
NormCD
Or, à l'aide de la calculatrice :
TI 83 + | CASIO GRAPH 75 |
| |
Ainsi, L'affirmation 1 est vraie.
▶ 2. Justifier l'unicité d'une solution
Notons l'intervalle et la fonction définie sur par
La fonction étant dérivable sur comme différence de deux fonctions dérivables, sa dérivée est définie sur et elle est donnée par Comme la fonction sinus est positive sur nous avons :
La fonction étant strictement positive sur la fonction est strictement croissante sur
Par le point précédent, la fonction est dérivable sur La fonction est ainsi continue sur cet intervalle.
Nous avons et
Par suite, 0 est bien compris entre et
Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution dans
L'affirmation 2 est vraie.
▶ 3. Étudier la position relative de deux droites dans l'espace
Un point appartient aux droites D et D si et seulement si il existe un réel et un réel tels que et
Ce qui implique
Or, par équivalence :
Cela conduit à la contradiction suivante : Par conséquent, il n'existe pas de point M de l'espace appartenant aux deux droites. Ces droites ne sont ainsi pas sécantes.
L'affirmation 3 est fausse.
▶ 4. Étudier la position relative d'une droite et d'un plan
Le plan P a pour équation cartésienne Un vecteur normal à ce plan est, par suite, le vecteur de coordonnées .
La droite D admet pour représentation paramétrique :
, qui s'écrit également .
Un vecteur directeur de cette droite est, par suite, le vecteur de coordonnées .
Comme , les vecteurs et sont orthogonaux. La droite D est donc parallèle au plan P.
L'affirmation 4 est vraie.