Corrigé

▶ 1. Déterminer une probabilité avec une loi normale

Notons M la variable aléatoire qui, à une baguette choisie au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Alors, la probabilité demandée s’écrit à l’aide de la variable M de la manière suivante : P(187≤M). Comme Msuit la loi normale d’espérance 200 et que la courbe représentative de la densité associée à cette loi normale est symétrique par rapport à la droite d’équation x=200, nous avons :

P(M≥187)=P(187≤M≤200)+P(200≤M)=P(187≤M≤200)+0,5.

Or, à l’aide de la calculatrice :

Ainsi, P(M≥187)≈0,403+0,5=0,903.L’affirmation 1 est vraie.

▶ 2. Justifier l’unicité d’une solution

Notons I l’intervalle [0;π2] et f la fonction définie sur I par f(x)=x−cosx.

La fonction f étant dérivable sur I comme différence de deux fonctions dérivables, sa dérivée f′ est définie sur I et elle est donnée par f′(x)=1−(−sinx)=1+sinx. Comme la fonction sinus est positive sur I, nous avons : f′(x)=1+sinx≥1.

La fonction f′ étant strictement positive sur I, la fonction f est strictement croissante sur I.

Par le point précédent, la fonction f est dérivable sur I. La fonction f est ainsi continue sur cet intervalle.

Nous avons f(0)=0−cos(0)=0−1=−1 et f(π2)=π2−cos(π2)=π2−0=π2.

Par suite, 0 est bien compris entre f(0)=−1<0 et f(π2)=π2>0.

Ainsi, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=0 admet une unique solution dans I.

L’affirmation 2 est vraie.

▶ 3. Étudier la position relative de deux droites dans l’espace

Un point M(x;y;z) appartient aux droites D1 et D2 si et seulement si il existe un réel t et un réel t′ tels que {x=1+2ty=2−3tz=4t et {x=−5t′+3y=2t′z=t′+4.

Ce qui implique {1+2t=−5t′+32−3t=2t′4t=t′+4.

Or, par équivalence :

{1+2t=−5t′+32−3t=2t′4t=t′+4⇔{1+2t=−5t′+32−3t=2×(4t−4)4t−4=t′⇔{2t+5t′=210=11t4t−4=t′⇔{2×1011+5×(−411)=2t=1011t′=−411

Cela conduit à la contradiction suivante : 0=2. Par conséquent, il n’existe pas de point M de l’espace appartenant aux deux droites. Ces droites ne sont ainsi pas sécantes.

L’affirmation 3 est fausse.

▶ 4. Étudier la position relative d’une droite et d’un plan

Le plan P a pour équation cartésienne x+2y+z−3=0. Un vecteur normal à ce plan est, par suite, le vecteur n→ de coordonnées (1;2;1).

La droite D1 admet pour représentation paramétrique :

{x=1+2ty=2−3t, t∈ℝz=4t, qui s’écrit également {x=1+2×ty=2−3×t, t∈ℝz=0+4×t.

Un vecteur directeur de cette droite est, par suite, le vecteur u→ de coordonnées (2;−3;4).

Comme n→⋅u→=1×2+2×(−3)+1×4=0, les vecteurs n→ et u→ sont orthogonaux. La droite D1 est donc parallèle au plan P.

L’affirmation 4 est vraie.