Annale corrigée Exercice Ancien programme

Enquête sur les non-fumeurs

Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Enquête sur les non-fumeurs

Probabilités et statistiques • Fluctuation. Estimation

Corrigé

40

Ens. spécifique

matT_1200_00_18C

Sujet inédit

Exercice • 4 points

D'après des données officielles (Ministère de la Santé), fin 2010, 70 % des Français sont non-fumeurs.

Une enquête est effectuée dans deux lycées différents, à chaque fois sur un échantillon aléatoire de 200 lycéens.

On assimile ces échantillons à un tirage avec remise.

On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 200 personnes, associe le nombre de non-fumeurs dans cet échantillon.

> 1. Quelle est la loi suivie par X ? Donner ses paramètres. (1 point)

> 2. Déterminer, à l'aide de la loi binomiale, un intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence de non-fumeurs dans un échantillon de 200 personnes. (1 point)

> 3. Dans le lycée A, après enquête sur 200 lycéens, on a compté 139 non-fumeurs dans le lycée B, on a compté 154 non-fumeurs sur un échantillon de 200 lycéens.

Les proviseurs de ces deux lycées doivent-ils s'inquiéter, ou au contraire se féliciter de ces résultats ? (1 point)

> 4. Reprendre la question précédente en prenant les décisions à partir de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. (1 point)

Durée conseillée : 35 min.

Les thèmes en jeu

Loi de probabilité • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

> 1. Il s'agit d'un schéma de Bernoulli. X suit une loi binomiale.

> 2. Utilisez la méthode vue en première.

> 3. Déterminez si les fréquences observées appartiennent ou non à l'intervalle de fluctuation.

> 1. Loi de X

On considère qu'il y a répétition de 200 expériences identiques et indépendantes (définition d'un échantillon de taille 200), il s'agit donc d'un schéma de Bernoulli on appelle « succès » l'événement « la personne est non-fumeur », la probabilité de succès est , car on suppose que 70 % des personnes sont des non-fumeurs.

X suit donc la loi binomiale de paramètres 200 et 0,7, notée .

> 2. Intervalle de fluctuation

Pour déterminer, à l'aide de la loi binomiale, un intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence des non-fumeurs dans un échantillon de taille 200, on cherche le plus petit entier tel que et le plus petit entier tel que .

On utilise une calculatrice ou un logiciel pour obtenir les valeurs de , entier compris entre 0 et 200.

Avec un tableur :


124


0,00937857





125


0,0138336



150


0,94940821


126


0,02002113



151


0,96405218


127


0,02843358



152


0,97506727


128


0,03962828



153


0,98313061


129


0,05420741



154


0,98887268


130


0,07278646



155


0,99284892

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