Enquête sur les rythmes scolaires

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Pondichéry
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Enquête sur les rythmes scolaires
 
 

Probabilités et statistiques • Conditionnement

Corrigé

23

Ens. Spécifique

matT_1304_12_05C

 

Pondichéry • Avril 2013

Exercice 2 • 5 points

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.

L’enquête révèle que 55 % des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et, parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.

Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.

On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les événements suivants :

  • L : l’élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi ;
  • C : l’élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.

>1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation. (0,75 point)

>2. Calculer p() la probabilité de l’événement . (0,5 point)

>3. Montrer que p(C) = 0,5675. (0,75 point)

>4. Calculer , la probabilité de l’événement L sachant l’événement C réalisé. En donner une valeur arrondie à . (1 point)

>5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l’établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d’élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire. Le nombre d’élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.

a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale. (0,5 point)

b) Calculer la probabilité qu’aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire. En donner une valeur arrondie à . (0,75 point)

c) Calculer la probabilité qu’exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire. (0,75 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Loi binomiale.

Les conseils du correcteur

>2. est l’intersection de deux événements ; sa probabilité n’est pas une probabilité conditionnelle.

>3. Parmi les élèves souhaitant une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire, certains sont favorables à une pause plus longue le midi, d’autres n’y sont pas favorables ; on en déduit une expression de l’événement comme réunion de deux événements disjoints.

>4. Utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle.

>5. On peut considérer que l’on réalise quatre fois de suite et de manière indépendante la même épreuve : choisir au hasard un élève de l’établissement. Le « succès » est l’événement . La variable aléatoire compte le nombre de succès lors de ces quatre épreuves successives.

Corrigé

>1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

La situation peut être représentée par l’arbre suivant :

 

Conseil

L’énoncé donne les probabilités de sachant et de C sachant . On commence donc la construction de l’arbre par les événements et .

On indique les probabilités données et on complète en utilisant la règle :

« la somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1 ».


 

>2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

, donc .

>3. Calculer la probabilité d’un événement

 

Notez bien

Deux événements contraires forment toujours une partition de l’univers : ils sont disjoints (leur intersection est vide) et leur réunion est l’univers.

et formant une partition de l’univers :

>4. Calculer une probabilité conditionnelle

D’après la définition d’une probabilité conditionnelle, p(C) étant non nulle :

.

>5.a) Déterminer les paramètres d’une loi binomiale

L’expérience peut être considérée comme la répétition de quatre épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; le succès est l’événement , la probabilité de succès est donc 0,5675.

Doncsuit la loi binomiale de paramètres 4 et 0,5675.

b) Calculer une probabilité en lien avec une loi binomiale

Puisqu’on suppose que l’on interroge les élèves de façon indépendante, la probabilité qu’aucun élève, sur les quatre interrogés, ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire est :

c) Calculer une probabilité en utilisant la loi binomiale

La probabilité que, sur les quatre élèves interrogés, deux exactement soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire est :