Probabilités et statistiques • Conditionnement
Corrigé
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Ens. Spécifique
matT_1304_12_05C
Pondichéry • Avril 2013
Exercice 2 • 5 points
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.
L’enquête révèle que 55 % des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et, parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les événements suivants :
- L : l’élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi ;
- C : l’élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
) la probabilité de l’événement 
. (0,5 point)
, la probabilité de l’événement L sachant l’événement C réalisé. En donner une valeur arrondie à 
. (1 point)
. (0,75 point)
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Loi binomiale.
Les conseils du correcteur
est l’intersection de deux événements ; sa probabilité n’est pas une probabilité conditionnelle.
comme réunion de deux événements disjoints.
. La variable aléatoire 
compte le nombre de succès lors de ces quatre épreuves successives.
> 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré
La situation peut être représentée par l’arbre suivant :
Conseil
L’énoncé donne les probabilités de 
sachant 
et de C sachant 
. On commence donc la construction de l’arbre par les événements 
et 
.
On indique les probabilités données et on complète en utilisant la règle :
« la somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1 ».
> 2. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements
, donc 
.
> 3. Calculer la probabilité d’un événement
Notez bien
Deux événements contraires forment toujours une partition de l’univers : ils sont disjoints (leur intersection est vide) et leur réunion est l’univers.
et 
formant une partition de l’univers :
> 4. Calculer une probabilité conditionnelle
D’après la définition d’une probabilité conditionnelle, p(C) étant non nulle :
.
> 5. a) Déterminer les paramètres d’une loi binomiale
L’expérience peut être considérée comme la répétition de quatre épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; le succès est l’événement 
, la probabilité de succès est donc 0,5675.
b) Calculer une probabilité en lien avec une loi binomiale
Puisqu’on suppose que l’on interroge les élèves de façon indépendante, la probabilité qu’aucun élève, sur les quatre interrogés, ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire est :
c) Calculer une probabilité en utilisant la loi binomiale
La probabilité que, sur les quatre élèves interrogés, deux exactement soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire est :
