Une enquête a été réalisée auprès des élèves d&rsquo un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.

L&rsquo enquête révèle que 55 % des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et, parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire.

Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10 % sont pour une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire.

On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les événements suivants :

• L : l&rsquo élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi 
• C : l&rsquo élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire.

&gt  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation. (0,75 point)

&gt  2. Calculer p() la probabilité de l&rsquo événement . (0,5 point)

&gt  3. Montrer que p(C) = 0,5675. (0,75 point)

&gt  4. Calculer , la probabilité de l&rsquo événement L sachant l&rsquo événement C réalisé. En donner une valeur arrondie à . (1 point)

&gt  5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l&rsquo établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d&rsquo élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire. Le nombre d&rsquo élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.

a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale. (0,5 point)

b) Calculer la probabilité qu&rsquo aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire. En donner une valeur arrondie à . (0,75 point)

c) Calculer la probabilité qu&rsquo exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l&rsquo année scolaire. (0,75 point)