Graphes
Corrigé
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Ens. de spécialité
matT_1206_13_00C
Polynésie française &bull Juin 2012
Exercice 2 &bull 5 points
Jonathan est un sportif adepte du semi-marathon (course à pied de 21,1 km). Depuis le 1er janvier 2012, il a décidé de courir un semi-marathon par mois. Afin d&rsquo améliorer sa préparation, il décide d&rsquo enchaîner les courses pédestres de 10 km dans différentes villes.
PARTIE A
Le graphe pondéré ci-dessous représente les villes A, B, C, D, E, F, H organisant des courses de 10 km et la ville G est celle organisant le prochain semi-marathon auquel Jonathan est inscrit.
Le poids de chaque arête représente le temps, en minutes, nécessaire pour relier une ville à une autre grâce aux transports en commun.

Jonathan vient de courir dans la ville A et souhaite se rendre dans la ville G pour repérer le parcours de son prochain semi-marathon. Déterminer à l&rsquo aide d&rsquo un algorithme le chemin permettant de relier le plus rapidement la ville A à la ville G, et donner la durée de ce parcours en minutes.
PARTIE B
Grâce à son entraînement et à son expérience, Jonathan sait que :
- S&rsquo il a terminé la course lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,62.
- S&rsquo il a abandonné lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,8.
Jonathan a terminé son semi-marathon de janvier 2012. Pour tout entier naturel n, on note la matrice ligne
traduisant l&rsquo état probabiliste du
-ième mois écoulé depuis janvier 2012, où
désigne la probabilité que Jonathan abandonne au semi-marathon du
-ième mois et
la probabilité que Jonathan termine le semi-marathon du
-ième mois.
L&rsquo état probabiliste initial, correspondant à janvier 2012, est donc donné par :
. En déduire la probabilité que Jonathan ait abandonné lors du semi-marathon couru en mars 2012.
près.
Durée conseillée : 40 min.
Les thèmes en jeu
Graphes pondérés &bull Matrice associée à un graphe &bull Chaîne de longueur donnée &bull Graphes probabilistes.