Entraînement au semi-marathon

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Polynésie française
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Entraînement au semi-marathon
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Graphes

Corrigé

43

Ens. de spécialité

matT_1206_13_00C

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Polynésie française &bull Juin 2012

Exercice 2 &bull 5 points

Jonathan est un sportif adepte du semi-marathon (course à pied de 21,1 km). Depuis le 1er janvier 2012, il a décidé de courir un semi-marathon par mois. Afin d&rsquo améliorer sa préparation, il décide d&rsquo enchaîner les courses pédestres de 10 km dans différentes villes.

PARTIE A

Le graphe pondéré ci-dessous représente les villes A, B, C, D, E, F, H organisant des courses de 10 km et la ville G est celle organisant le prochain semi-marathon auquel Jonathan est inscrit.

Le poids de chaque arête représente le temps, en minutes, nécessaire pour relier une ville à une autre grâce aux transports en commun.


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Jonathan vient de courir dans la ville A et souhaite se rendre dans la ville G pour repérer le parcours de son prochain semi-marathon. Déterminer à l&rsquo aide d&rsquo un algorithme le chemin permettant de relier le plus rapidement la ville A à la ville G, et donner la durée de ce parcours en minutes.

PARTIE B

Grâce à son entraînement et à son expérience, Jonathan sait que :

  • S&rsquo il a terminé la course lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,62.
  • S&rsquo il a abandonné lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,8.

Jonathan a terminé son semi-marathon de janvier 2012. Pour tout entier naturel n, on note la matrice ligne traduisant l&rsquo état probabiliste du -ième mois écoulé depuis janvier 2012, où désigne la probabilité que Jonathan abandonne au semi-marathon du -ième mois et la probabilité que Jonathan termine le semi-marathon du -ième mois.

L&rsquo état probabiliste initial, correspondant à janvier 2012, est donc donné par :

&gt 1. Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets sont notés R et T (R lorsque Jonathan abandonne, T lorsqu&rsquo il termine le semi-marathon).

&gt 2. En déduire la matrice de transition en considérant les sommets dans l&rsquo ordre alphabétique.

&gt 3. Calculer l&rsquo état probabiliste . En déduire la probabilité que Jonathan ait abandonné lors du semi-marathon couru en mars 2012.

&gt 4. Soit P la matrice ligne (x  y) donnant l&rsquo état stable.

a) Calculer les valeurs de x et de y arrondies à près.

b) Interpréter les résultats obtenus.

Durée conseillée : 40 min.

Les thèmes en jeu

Graphes pondérés &bull Matrice associée à un graphe &bull Chaîne de longueur donnée &bull Graphes probabilistes.

Les conseils du correcteur

Partie A

Utilisez, par exemple, l&rsquo algorithme de Dijkstra.

Partie B

&gt 3. Mars 2012 est le deuxième mois après janvier 2012, donc la matrice traduit l&rsquo état probabiliste de mars 2012.

&gt 4.a) et est la matrice de transition.