Entraînement au semi-marathon

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Polynésie française
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Entraînement au semi-marathon
 
 

Graphes

Corrigé

43

Ens. de spécialité

matT_1206_13_00C

 

Polynésie française • Juin 2012

Exercice 2 • 5 points

Jonathan est un sportif adepte du semi-marathon (course à pied de 21,1 km). Depuis le 1er janvier 2012, il a décidé de courir un semi-marathon par mois. Afin d’améliorer sa préparation, il décide d’enchaîner les courses pédestres de 10 km dans différentes villes.

PARTIE A

Le graphe pondéré ci-dessous représente les villes A, B, C, D, E, F, H organisant des courses de 10 km et la ville G est celle organisant le prochain semi-marathon auquel Jonathan est inscrit.

Le poids de chaque arête représente le temps, en minutes, nécessaire pour relier une ville à une autre grâce aux transports en commun.


 

Jonathan vient de courir dans la ville A et souhaite se rendre dans la ville G pour repérer le parcours de son prochain semi-marathon. Déterminer à l’aide d’un algorithme le chemin permettant de relier le plus rapidement la ville A à la ville G, et donner la durée de ce parcours en minutes.

PARTIE B

Grâce à son entraînement et à son expérience, Jonathan sait que :

  • S’il a terminé la course lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,62.
  • S’il a abandonné lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,8.

Jonathan a terminé son semi-marathon de janvier 2012. Pour tout entier naturel n, on note la matrice ligne traduisant l’état probabiliste du -ième mois écoulé depuis janvier 2012, où désigne la probabilité que Jonathan abandonne au semi-marathon du -ième mois et la probabilité que Jonathan termine le semi-marathon du -ième mois.

L’état probabiliste initial, correspondant à janvier 2012, est donc donné par :

>1. Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets sont notés R et T (R lorsque Jonathan abandonne, T lorsqu’il termine le semi-marathon).

>2. En déduire la matrice de transition en considérant les sommets dans l’ordre alphabétique.

>3. Calculer l’état probabiliste . En déduire la probabilité que Jonathan ait abandonné lors du semi-marathon couru en mars 2012.

>4. Soit P la matrice ligne (x  y) donnant l’état stable.

a) Calculer les valeurs de x et de y arrondies à près.

b) Interpréter les résultats obtenus.

Durée conseillée : 40 min.

Les thèmes en jeu

Graphes pondérés • Matrice associée à un graphe • Chaîne de longueur donnée • Graphes probabilistes.

Les conseils du correcteur

Partie A

Utilisez, par exemple, l’algorithme de Dijkstra.

Partie B

>3. Mars 2012 est le deuxième mois après janvier 2012, donc la matrice traduit l’état probabiliste de mars 2012.

>4.a) et est la matrice de transition.

Corrigé

PARTIE A

Déterminer sur un graphe pondéré le « plus court chemin » d’un sommet à un autre

Pour déterminer le chemin permettant de relier le plus rapidement la ville A à la ville G, on utilise l’algorithme de Dijkstra, résumé dans le tableau ci-dessous :

 

A

B

C

D

E

F

G

H

0

60 A

70 A

20 A

45 A

A

40 E

70 A

80 E

20 A

45 A

70 E

E

40 E

50 B

80 E

45 A

70 E

B

50 B

80 E

45 A

70 E

F

50 B

65 C

70 E

C

65 C

85 D

70 E

D

85 D

70 E

H

85 D

G

 

On en déduit que le parcours le plus rapide de A à G est AEBCDG.

La durée correspondante est 85 minutes.

PARTIE B

>1. Traduire les données d’un énoncé par un graphe probabiliste

 

Notez bien

0,8 est la probabilité que Jonathan termine un semi-marathon sachant qu’il a abandonné lors du précédent ; 0,38 est la probabilité qu’il abandonne lors d’un semi-marathon sachant qu’il a terminé le précédent. Ce sont des probabilités conditionnelles.

Les données peuvent être traduites par le graphe probabiliste suivant :


 

>2. Déterminer la matrice de transition associée à un graphe probabiliste

La matrice de transition associée au graphe précédent est :

>3. Déterminer un état probabiliste à l’aide d’un graphe probabiliste et de sa matrice de transition

 

Conseil

Vérifiez que .

 ; , donc :

et .

La probabilité que Jonathan ait abandonné lors du semi-marathon couru en mars 2012 est donc 0,3116.

>4.a) Déterminer l’état stable associé à un graphe probabiliste

L’état stable est donné par la relation .

Avec , cette égalité équivaut à :

, soit 

De plus, , donc et , d’où :

et .

A près :

b) Interpréter l’état stable

À terme, la probabilité que Jonathan abandonne lors d’un semi-marathon est égale à environ, la probabilité qu’il le termine est égale à 0,678 environ.