Jonathan est un sportif adepte du semi-marathon (course à pied de 21,1 km). Depuis le 1^er janvier 2012, il a décidé de courir un semi-marathon par mois. Afin d’améliorer sa préparation, il décide d’enchaîner les courses pédestres de 10 km dans différentes villes.

Le graphe pondéré ci-dessous représente les villes A, B, C, D, E, F, H organisant des courses de 10 km et la ville G est celle organisant le prochain semi-marathon auquel Jonathan est inscrit.

Le poids de chaque arête représente le temps, en minutes, nécessaire pour relier une ville à une autre grâce aux transports en commun.

Jonathan vient de courir dans la ville A et souhaite se rendre dans la ville G pour repérer le parcours de son prochain semi-marathon. Déterminer à l’aide d’un algorithme le chemin permettant de relier le plus rapidement la ville A à la ville G, et donner la durée de ce parcours en minutes.

Grâce à son entraînement et à son expérience, Jonathan sait que :

• S’il a terminé la course lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,62.
• S’il a abandonné lors de son précédent semi-marathon, il terminera le prochain semi-marathon avec une probabilité de 0,8.

Jonathan a terminé son semi-marathon de janvier 2012. Pour tout entier naturel n, on note la matrice ligne traduisant l’état probabiliste du -ième mois écoulé depuis janvier 2012, où désigne la probabilité que Jonathan abandonne au semi-marathon du -ième mois et la probabilité que Jonathan termine le semi-marathon du -ième mois.

L’état probabiliste initial, correspondant à janvier 2012, est donc donné par :

> 1. Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets sont notés R et T (R lorsque Jonathan abandonne, T lorsqu’il termine le semi-marathon).

> 2. En déduire la matrice de transition en considérant les sommets dans l’ordre alphabétique.

> 3. Calculer l’état probabiliste . En déduire la probabilité que Jonathan ait abandonné lors du semi-marathon couru en mars 2012.

> 4. Soit P la matrice ligne (x  y) donnant l’état stable.

a) Calculer les valeurs de x et de y arrondies à près.

b) Interpréter les résultats obtenus.