Entrez dans la ronde !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 2 • 5 points

Entrez dans la ronde !

On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel n, on définit les points (An) par leurs coordonnées (xn ; yn) de la façon suivante :

428018-Eqn5

1. a) Déterminer les coordonnées des points A0, A1 et A2.

b) Pour construire les points An ainsi obtenus, on écrit l’algorithme suivant :

Variables

i, x, y, t : nombres réels

Initialisation

x prend la valeur – 3

y prend la valeur 4

Traitement

Pour i allant de 0 à 20

Construire le point de coordonnées (x ; y)

t prend la valeur x

x prend la valeur ………

y prend la valeur ………

Fin Pour

Recopier et compléter cet algorithme pour qu’il construise les points A0 à A20.

c) À l’aide d’un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant :

matT_1506_02_02C_02

Identifier les points A0, A1 et A2. On les nommera sur la figure ci-dessus.

Quel semble être l’ensemble auquel appartiennent les points An pour tout n entier naturel ?

2. Le but de cette question est de construire géométriquement les points An pour tout n entier naturel.

Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, zn = xn + iyn l’affixe du point An.

a) Soit 428018-Eqn6. Montrer que, pour tout entier naturel n, un = 5. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ?

b) On admet qu’il existe un réel θ tel que cos θ = 0,8 et sin θ = 0,6.

Montrer que, pour tout entier naturel n, eiθzn = zn+1.

c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, zn = einθz0.

d) Montrer que 428018-Eqn7 est un argument du nombre complexe z0.

e) Pour tout entier naturel n, déterminer, en fonction de n et θ, un argument du nombre complexe zn. Représenter θ sur la figure ci-dessus.

Expliquer, pour tout entier naturel n, comment construire le point An+1 à partir du point An.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence  E1 2. c)

Module d’un nombre complexe  E18 2. a)

Argument d’un nombre complexe  E19 2. d) et e)

Forme exponentielle d’un nombre complexe  E21 2. b), c) et e)

Nombres complexes et géométrie  E22 2. a) et e)

Nos coups de pouce

2. a) Pensez à démontrer que la suite est constante et calculez ensuite son premier terme.

c) Utilisez ici un raisonnement par récurrence pour démontrer l’égalité demandée.