Entrez dans la ronde !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 2 • 5 points

Entrez dans la ronde !

On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel n, on définit les points (An) par leurs coordonnées (xn ; yn) de la façon suivante :

428018-Eqn5

1. a) Déterminer les coordonnées des points A0, A1 et A2.

b) Pour construire les points An ainsi obtenus, on écrit l’algorithme suivant :

Variables

i, x, y, t : nombres réels

Initialisation

x prend la valeur – 3

y prend la valeur 4

Traitement

Pour i allant de 0 à 20

Construire le point de coordonnées (x ; y)

t prend la valeur x

x prend la valeur ………

y prend la valeur ………

Fin Pour

Recopier et compléter cet algorithme pour qu’il construise les points A0 à A20.

c) À l’aide d’un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant :

matT_1506_02_02C_02

Identifier les points A0, A1 et A2. On les nommera sur la figure ci-dessus.

Quel semble être l’ensemble auquel appartiennent les points An pour tout n entier naturel ?

2. Le but de cette question est de construire géométriquement les points An pour tout n entier naturel.

Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, zn = xn + iyn l’affixe du point An.

a) Soit 428018-Eqn6. Montrer que, pour tout entier naturel n, un = 5. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ?

b) On admet qu’il existe un réel θ tel que cos θ = 0,8 et sin θ = 0,6.

Montrer que, pour tout entier naturel n, eiθzn = zn+1.

c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, zn = einθz0.

d) Montrer que 428018-Eqn7 est un argument du nombre complexe z0.

e) Pour tout entier naturel n, déterminer, en fonction de n et θ, un argument du nombre complexe zn. Représenter θ sur la figure ci-dessus.

Expliquer, pour tout entier naturel n, comment construire le point An+1 à partir du point An.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Raisonnement par récurrence  E1 2. c)

Module d’un nombre complexe  E18 2. a)

Argument d’un nombre complexe  E19 2. d) et e)

Forme exponentielle d’un nombre complexe  E21 2. b), c) et e)

Nombres complexes et géométrie  E22 2. a) et e)

Nos coups de pouce

2. a) Pensez à démontrer que la suite est constante et calculez ensuite son premier terme.

c) Utilisez ici un raisonnement par récurrence pour démontrer l’égalité demandée.

Corrigé

Corrigé

1. a) Déterminer des coordonnées de points

D’après l’énoncé, 428018-Eqn187 et 428018-Eqn188, donc le point 428018-Eqn189 a pour coordonnées 428018-Eqn190.

En utilisant les relations de récurrence fournies dans l’énoncé, nous avons :

428018-Eqn191

Le point 428018-Eqn192a donc pour coordonnées 428018-Eqn193.

En utilisant les relations de récurrence fournies dans l’énoncé, nous avons :

428018-Eqn194

Le point 428018-Eqn195a donc pour coordonnées 428018-Eqn196.

b) Compléter un algorithme

La première relation de récurrence est 428018-Eqn197.

Dans l’algorithme, 428018-Eqn198prend donc la valeur 428018-Eqn199.

La deuxième relation de récurrence est 428018-Eqn200.

La valeur de 428018-Eqn201 ayant changé dans la ligne juste au-dessus dans l’algorithme, il faut prendre ici la précaution d’utiliser la valeur de 428018-Eqn202 avant modification, valeur qui est stockée dans 428018-Eqn203.

Dans l’algorithme, 428018-Eqn204prend donc la valeur 428018-Eqn205.

c) Identifier des points sur une figure

À l’aide des coordonnées des points trouvées à la question 1. a), nous identifions les points indiqués sur le graphique ci-après.

matT_1506_02_02C_08

L’ensemble auquel appartiennent tous les points 428018-Eqn206 semble être le cercle de centre O et de rayon 5.

2. a) Démontrer qu’une suite est constante

Montrons que la suite 428018-Eqn207 est constante.

Notez bien

Pour tous réels 428018-Eqn208 et 428018-Eqn209 :

428018-Eqn210

428018-Eqn211.

Pour tout entier naturel 428018-Eqn212 :

428018-Eqn213

Par conséquent, la suite 428018-Eqn214 est constante et, pour tout entier naturel 428018-Eqn215 :

428018-Eqn216.

Finalement, pour tout entier naturel 428018-Eqn217, nous avons 428018-Eqn218.

Par conséquent, tous les points 428018-Eqn219sont sur le cercle de centre O et de rayon 5.

b) Établir une relation de récurrence avec des nombres complexes

Notez bien

Pour tout réel 428018-Eqn220: 428018-Eqn221.

Pour tout entier naturel 428018-Eqn222 :

428018-Eqn223

c) Démontrer une égalité à l’aide d’un raisonnement par récurrence

Soit P(428018-Eqn224) la propriété : 428018-Eqn225.

Démontrons par récurrence que P(428018-Eqn226) est vraie pour tout entier naturel 428018-Eqn227.

Initialisation

428018-Eqn228 donc P(0) est vraie.

La propriété est donc initialisée.

Hérédité

Supposons que la propriété P(428018-Eqn229) soit vraie pour un entier naturel 428018-Eqn230 donné :

428018-Eqn231 (hypothèse de récurrence).

Démontrons alors que la propriété P(428018-Eqn232) est vraie.

428018-Eqn233 (question 2. b))

428018-Eqn234 (hypothèse de récurrence)

428018-Eqn235 (pour tous réels a et b : 428018-Eqn236)

428018-Eqn237

donc P(k+1) est vraie.

La propriété est donc héréditaire.

Par conséquent, nous en déduisons que, pour tout entier naturel 428018-Eqn238, 428018-Eqn239.

d) Déterminer un argument d’un nombre complexe

Nous avons 428018-Eqn240 et 428018-Eqn241 (question 2. a)).

Notez bien

Pour tout réel 428018-Eqn242 :

428018-Eqn243

428018-Eqn244.

Soit 428018-Eqn245 un argument de 428018-Eqn246. Nous obtenons alors :

428018-Eqn247

et 428018-Eqn248.

Un argument de 428018-Eqn249est donc 428018-Eqn250.

e) Construire des points à l’aide d’arguments algébriques

Notez bien

Pour tous nombres complexes 428018-Eqn251 et 428018-Eqn252 non nuls :

428018-Eqn253

Pour tout entier naturel 428018-Eqn254 :

428018-Eqn255

D’après l’énoncé, nous savons que :

428018-Eqn256 et 428018-Eqn257.

Par proportionnalité, nous construisons 428018-Eqn258 comme indiqué ci-dessous.

matT_1506_02_02C_09

Nous avons vu à la question 2. a) que tous les points 428018-Eqn259 étaient situés sur le cercle de centre O et de rayon 5.

Ensuite, comme 428018-Eqn260, nous en déduisons que :

428018-Eqn261.

Notez bien

Pour tous nombres complexes 428018-Eqn262 et 428018-Eqn263 non nuls :

428018-Eqn264

Par conséquent :

428018-Eqn265

Le point 428018-Eqn266se déduit donc du point 428018-Eqn267par la rotation de centre O et d’angle 428018-Eqn268.