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Épidémie chez les coyotes et test de dépistage

France métropolitaine, mai 2022 • Jour 2

Exercice 1

Épidémie chez les coyotes et test de dépistage

1 heure

7 points

Intérêt du sujet • On étudie dans cet exercice, grâce aux valeurs prédictives positive et négative, la performance d’un test de dépistage d’une maladie des coyotes, puis une variable aléatoire en lien avec la situation.

 

Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.

Dans l’état d’Oklahoma, aux États-Unis, 70 % des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.

Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que :

si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas ;

si le coyote n’est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas.

Partie A

Des vétérinaires capturent un coyote d’Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l’ehrlichiose.

On considère les événements suivants :

M : « le coyote est malade » ;

T : « le test du coyote est positif ».

On note M¯ et T¯ respectivement les événements contraires de M et T.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation.

matT_2205_07_04C_01

2. Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.

3. Démontrer que la probabilité de T est égale à 0,694.

4. On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif.

Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième.

5. a) Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test », et calculer cette valeur en arrondissant au millième.

b) Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu’un coyote capturé au hasard présente un test positif est de 0,694.

1. Lorsqu’on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise.

On note X la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.

a) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Justifier et préciser ses paramètres.

b) Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.

c) Un vétérinaire affirme qu’il y a plus d’une chance sur deux qu’au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif. Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.

2. Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d’un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux présente un test positif soit supérieure à 0,99 ?

 

Les clés du sujet

Partie A

1. Sur les branches de premier niveau de l’arbre, on a des probabilités simples. Les branches de deuxième niveau portent des probabilités conditionnelles, conditionnées par l’événement « dont elles sont issues ».

2. On demande ici de calculer la probabilité de l’intersection de deux événements.

3. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités correspondant aux branches menant à cet événement.

4. La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle ; utilisez la définition.

Partie B

2. Utilisez la fonction ln.

Partie A

1. Représenter une situation par un arbre pondéré

La situation peut être représentée par l’arbre suivant :

matT_2205_07_04C_02

2. Déterminer la probabilité de l’intersection de deux événements

La probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif est P(M ∩ T).

P(MT)=P(M)×PM(T)=0,7×0,97=0,679.

La probabilité que le coyote capturé soit malade et que son test soit positif est 0,679.

3. Calculer la probabilité d’un événement

M et M¯ forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales :

P(T)=P(MT)+P(M¯T)=0,679+0,3×0,05=0,679+0,015.

Soit P(T)=0,694.

4. Calculer la valeur prédictive positive d’un test

La valeur prédictive positive du test est PT(M).

D’après la définition d’une probabilité conditionnelle :

PT(M)=P(MT)P(T)=0,6790,6940,978 en arrondissant au millième.

La valeur prédictive positive du test est environ 0,978.

5. a) Définir et calculer la valeur prédictive négative d’un test

Par analogie avec la question précédente, on appelle valeur prédictive négative du test la probabilité que le coyote ne soit pas malade sachant que son test est négatif, c’est-à-dire PT¯(M¯).

PT¯(M¯)=P(M¯T¯)P(T¯)=0,3×0,9510,6940,931.

La valeur prédictive négative du test est environ 0,931.

b) Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test

PT(M)>PT¯(M¯).

La valeur prédictive positive est supérieure à la valeur prédictive négative, le test est (un peu) plus fiable lorsqu’il est positif que lorsqu’il est négatif.

mot clé

Les valeurs prédictives positive et négative d’un test de dépistage d’une maladie dépendent fortement de la prévalence de la maladie dans la population, c’est-à-dire de la proportion d’individus malades.

Partie B

1. a) Déterminer la loi d’une variable aléatoire

On assimile l’expérience à un tirage avec remise, ce qui assure l’indépendance des choix.

On peut donc considérer que l’expérience est la répétition de 5 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, dont le succès est « le coyote a un test positif » et a une probabilité égale à 0,694.

La variable aléatoire X donne le nombre de succès, donc X suit la loi binomiale de paramètres 5 et 0,694, notée B; 0,694.

b) Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

La probabilité que, dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif est P(X = 1).

D’après la calculatrice : P(X=1)0,03.

La probabilité que, dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif est environ 0,03.

c) Calculer et interpréter une probabilité associée à une loi binomiale

La probabilité que, dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, au moins quatre aient un test positif est P(X ≥ 4).

P(X4)=1P(X3)0,516.

à noter

Avec certaines calculatrices, on peut obtenir directement P(X4).

P(X4)>0,5, donc il y a plus d’une chance sur deux que, sur cinq coyotes capturés au hasard, au moins quatre aient un test positif ; le vétérinaire a raison.

2. Déterminer le nombre de répétitions nécessaires d’une épreuve pour qu’une condition soit remplie

Soit n le nombre de coyotes capturés.

La probabilité qu’un coyote choisi au hasard présente un test négatif est 1 - 0,694, c’est-à-dire 0,306 ; la probabilité que les n coyotes capturés présentent tous un test négatif, c’est-à-dire qu’aucun n’ait un test positif, est 0,306n.

En considérant l’événement contraire, la probabilité qu’au moins un coyote, sur les cinq capturés, présente un test positif, est 10,306n.

On cherche donc n tel que 10,306n0,99, qui équivaut à 0,306n0,01.

Puisque la fonction logarithme népérien est croissante sur ]0 ; + [,

0,306n0,01 équivaut à nln(0,306)ln(0,01).

Comme ln(0,306)<0, l’inégalité équivaut donc à nln(0,01)ln(0,306).

ln(0,01)ln(0,306)3,89, donc, puisque n est entier, nln(0,01)ln(0,306) équivaut à n ≥ 4.

Pour que la probabilité qu’au moins un coyote présente un test positif soit supérieure ou égale à 0,99, il faut capturer au moins 4 coyotes.

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