Partie A

▶ 1. Représenter une situation par un arbre pondéré

La situation peut être représentée par l’arbre suivant :

▶ 2. Déterminer la probabilité de l’intersection de deux événements

La probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif est P(M ∩ T).

$P(\text{M}\cap \text{T})=P(\text{M})\times P_{\text{M}}(\text{T})=\mathrm{0,7}\times \mathrm{0,97}=\mathrm{0,679}$.

La probabilité que le coyote capturé soit malade et que son test soit positif est 0,679.

▶ 3. Calculer la probabilité d’un événement

M et $\overline{\text{M}}$ forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales :

$P(\text{T})=P(\text{M}\cap \text{T})+P(\overline{\text{M}}\cap \text{T})=\mathrm{0,679}+\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,05}=\mathrm{0,679}+\mathrm{0,015}$.

Soit $\boxed{P(\text{T})=\mathrm{0,694}}$.

▶ 4. Calculer la valeur prédictive positive d’un test

La valeur prédictive positive du test est P_T(M).

D’après la définition d’une probabilité conditionnelle :

$P_{\text{T}}(\text{M})=\frac{P(\text{M}\cap \text{T})}{P(\text{T})}=\frac{\mathrm{0,679}}{\mathrm{0,694}}\approx \mathrm{0,978}$ en arrondissant au millième.

La valeur prédictive positive du test est environ 0,978.

▶ 5. a) Définir et calculer la valeur prédictive négative d’un test

Par analogie avec la question précédente, on appelle valeur prédictive négative du test la probabilité que le coyote ne soit pas malade sachant que son test est négatif, c’est-à-dire $P_{\overline{\text{T}}}(\overline{\text{M}})$.

$P_{\overline{\text{T}}}(\overline{\text{M}})=\frac{P(\overline{\text{M}}\cap \overline{\text{T}})}{P(\overline{\text{T}})}=\frac{\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,95}}{1-\mathrm{0,694}}\approx \mathrm{0,931}$.

La valeur prédictive négative du test est environ 0,931.

b) Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test

$P_{\text{T}}(\text{M})>P_{\overline{\text{T}}}(\overline{\text{M}})$.

La valeur prédictive positive est supérieure à la valeur prédictive négative, le test est (un peu) plus fiable lorsqu’il est positif que lorsqu’il est négatif.

Partie B

▶ 1. a) Déterminer la loi d’une variable aléatoire

On assimile l’expérience à un tirage avec remise, ce qui assure l’indépendance des choix.

On peut donc considérer que l’expérience est la répétition de 5 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, dont le succès est « le coyote a un test positif » et a une probabilité égale à 0,694.

La variable aléatoire X donne le nombre de succès, donc X suit la loi binomiale de paramètres 5 et 0,694, notée $\mathcal{B}\left(\text{5 };\mathrm{0,694}\right)$.

b) Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

La probabilité que, dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif est P(X = 1).

D’après la calculatrice : $P(X=1)\approx \mathrm{0,03}$.

La probabilité que, dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif est environ 0,03.

c) Calculer et interpréter une probabilité associée à une loi binomiale

La probabilité que, dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, au moins quatre aient un test positif est P(X ≥ 4).

$P(X\ge 4)=1-P(X\le 3)\approx \mathrm{0,516}$.

$\boxed{P(X\ge 4)>\mathrm{0,5}}$, donc il y a plus d’une chance sur deux que, sur cinq coyotes capturés au hasard, au moins quatre aient un test positif ; le vétérinaire a raison.

▶ 2. Déterminer le nombre de répétitions nécessaires d’une épreuve pour qu’une condition soit remplie

Soit n le nombre de coyotes capturés.

La probabilité qu’un coyote choisi au hasard présente un test négatif est 1 - 0,694, c’est-à-dire 0,306 ; la probabilité que les n coyotes capturés présentent tous un test négatif, c’est-à-dire qu’aucun n’ait un test positif, est ${\mathrm{0,306}}^n$.

En considérant l’événement contraire, la probabilité qu’au moins un coyote, sur les cinq capturés, présente un test positif, est $1-{\mathrm{0,306}}^n$.

On cherche donc n tel que $1-{\mathrm{0,306}}^n\ge \mathrm{0,99}$, qui équivaut à ${\mathrm{0,306}}^n\le \mathrm{0,01}.$

Puisque la fonction logarithme népérien est croissante sur ]0 ; + ∞[,

${\mathrm{0,306}}^n\le \mathrm{0,01}$ équivaut à $n\ln (\mathrm{0,306})\le \text{ln}(\mathrm{0,01})$.

Comme $\ln (\mathrm{0,306})<0$, l’inégalité équivaut donc à $n\ge \frac{\ln (\mathrm{0,01})}{\ln (\mathrm{0,306})}$.

$\frac{\ln (\mathrm{0,01})}{\ln (\mathrm{0,306})}\approx \mathrm{3,89}$, donc, puisque n est entier, $n\ge \frac{\ln (\mathrm{0,01})}{\ln (\mathrm{0,306})}$ équivaut à n ≥ 4.

Pour que la probabilité qu’au moins un coyote présente un test positif soit supérieure ou égale à 0,99, il faut capturer au moins 4 coyotes.