Terminale générale Mathématiques Primitives, équations différentielles

matT_2505_02_03C

Amérique du Nord, mai 2025 • Jour 1

Sprint final

Amérique du Nord, mai 2025 • Jour 1

Exercice 4

Équation différentielle et calcul d’aire

1 heure

5 points

Intérêt du sujet • L’exercice commence par des lectures graphiques, se poursuit par la résolution d’une équation différentielle de la forme $y^{'} + y = f$ et aborde, dans sa troisième partie, l’étude d’une fonction et un calcul d’aire. Les fonctions étudiées sont le produit d’une exponentielle et d’un polynôme du second degré.

La partie C est indépendante des parties A et B.

Partie A

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes $C$ ₁ et $C$ ₂, représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur ℝ. L’une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l’autre. On les notera g et g′. On précise également que :

la courbe $C$ ₁ coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 1) ;

la courbe $C$ ₂ coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 2) et l’axe des abscisses aux points de coordonnées (−2 ; 0) et (1 ; 0).

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▶ 1. En justifiant, associer à chacune des fonctions g et g′ sa représentation graphique.

▶ 2. Justifier que l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d’abscisse 0 est y = 2x + 1.

Partie B

On considère (E) l’équation différentielle $y + y^{'} = (2 x + 3) e^{- x}$ , où y est une fonction de la variable réelle x.

▶ 1. Montrer que la fonction f₀ définie pour tout nombre réel x par $f_{0} (x) = (x^{2} + 3 x) e^{- x}$ est une solution particulière de l’équation différentielle (E).

▶ 2. Résoudre l’équation différentielle (E₀) : y + y′ = 0.

▶ 3. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E).

▶ 4. On admet que la fonction g décrite dans la partie A est une solution de l’équation différentielle (E). Déterminer alors l’expression de la fonction g.

▶ 5. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) dont la courbe admet exactement deux points d’inflexion.

Partie C

On considère la fonction f définie pour tout nombre réel x par :

$f (x) = (x^{2} + 3 x + 2) e^{- x}$

▶ 1. Démontrer que la limite de la fonction f en + ∞ est égale à 0.

On admet par ailleurs que la limite de la fonction f en − ∞ est égale à + ∞.

▶ 2. On admet que la fonction f est dérivable sur ℝ. On note $f^{'}$ la fonction dérivée de f sur ℝ.

a) Vérifier que, pour tout nombre réel x, $f^{'} (x) = (- x^{2} - x + 1) e^{- x}$ .

b) Déterminer le signe de la fonction dérivée $f^{'}$ sur ℝ puis en déduire les variations de la fonction f sur ℝ.

▶ 3. Expliquer pourquoi la fonction f est positive sur l’intervalle [0 ; + ∞[.

▶ 4. On notera $C$ _f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (O ; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ).

On admet que la fonction F définie pour tout nombre réel x par $F (x) = (- x^{2} - 5 x - {7)e}^{- x}$ est une primitive de la fonction f.

Soit α un nombre réel positif.

Déterminer l’aire $A$ (α), exprimée en unités d’aire, du domaine du plan délimité par l’axe des abscisses, la courbe $C$ _f et les droites d’équation x = 0 et x = a.

Les clés du sujet

Partie A

▶ 1. Comparez le signe de l’une des fonctions et le sens de variation de l’autre.

Partie B

▶ 1. Calculez $f_{0} (x) + f_{0}' (x)$ .

▶ 5. Utilisez la caractérisation des points d’inflexion à l’aide de la dérivée seconde de la fonction et la règle sur le signe d’une fonction polynôme du second degré vu en première.

Partie C

▶ 1. Utilisez les croissances comparées.

Partie A

▶ 1. Reconnaître des fonctions par lecture graphique

Notons (provisoirement) f₁ la fonction représentée par la courbe $C$ ₁ et f₂ la fonction représentée par la courbe $C$ ₂.

Sur l’intervalle $[0; 1]$ , f₁ est positive, f₂ est décroissante, donc f₁ ne peut pas être la dérivée de f₂.

Sur l’intervalle $[- 2; 1]$ , f₂ est positive et f₁ est croissante ; sur les intervalles $] - \infty; - 2]$ et $[1; + \infty [$ , f₂ est négative et f₁ est décroissante. Les variations de f₁ correspondent au signe de f₂, donc f₂ est la dérivée de f₁. g est représentée par la courbe $C$ ₁, g′ est représentée par la courbe $C$ ₂.

▶ 2. Déterminer une équation de tangente

D’après l’énoncé, $g (0) = 1$ et $g^{'} (0) = 2$ , donc la tangente à $C$ ₁ au point d’abscisse 0 a pour équation y = 2x + 1.

Partie B

▶ 1. Montrer qu’une fonction est solution d’une équation différentielle

Pour tout réel x :

$f_{0}^{'} (x) = (2 x + 3) e^{- x} - (x^{2} + 3 x) e^{- x}$

$f_{0}^{'} (x) = (- x^{2} - x + 3) e^{- x}$ .

Donc $f_{0} (x) + f_{0}^{'} (x) = (x^{2} + 3 x) e^{- x} + (- x^{2} - x + 3) e^{- x}$

$f_{0} (x) + f_{0}^{'} (x) = (2 x + 3) e^{- x}$ .

f₀ est donc bien solution de l’équation $(E) y + y^{'} = (2 x + 3) e^{- x}$ .

▶ 2. Résoudre une équation différentielle

mot clé

L’équation (E₀) est appelée équation sans second membre.

Les solutions de l’équation différentielle $(E_{0}) y + y^{'} = 0$ sur ℝ sont les fonctions $x \mapsto k e^{- x}$ , où k est une constante réelle.

▶ 3. Résoudre une équation différentielle

Une fonction f est solution de $(E)$ sur ℝ si, et seulement si, pour tout réel x : $f (x) + f' (x) = (2 x + 3) e^{- x}$ , soit $f (x) + f' (x) = f_{0} (x) + f_{0}^{'} (x)$ , qui équivaut à $f (x) - f_{0} (x) + f^{'} (x) - f_{0}^{'} (x) = 0$ , c’est-à-dire $f - f_{0} + f^{'} - f_{0}^{'} = 0$ , ce qui revient à dire que f - f₀ est solution de $(E_{0})$ , donc il existe un réel k tel que, pour tout réel x, $f (x) - f_{0} (x) = k e^{- x}$ , soit $f (x) = (x^{2} + 3 x) e^{- x} + k e^{- x}$ , c’est-à-dire finalement :

$f (x) = (x^{2} + 3 x + k) e^{- x}$ .

▶ 4. Déterminer une solution particulière d’une équation différentielle

g est solution de $(E)$ , donc il existe un réel k tel que, pour tout x :

$g (x) = (x^{2} + 3 x + k) e^{- x}$ .

Or $g (0) = 1$ , donc k = 1 et $g (x) = (x^{2} + 3 x + 1) e^{- x}$ .

▶ 5. Déterminer des fonctions vérifiant une condition

La courbe représentative d’une fonction f admet un point d’inflexion d’abscisse α si, et seulement si, f′′ s’annule et change de signe en α.

Avec $f (x) = (x^{2} + 3 x + k) e^{- x}$ et f solution de (E), on a $f^{'} (x) = - f (x) + (2 x + 3) e^{- x}$ , soit $f^{'} (x) = (- x^{2} - x + 3 - k) e^{- x}$ .

En dérivant une seconde fois :

$f^{″} (x) = (- 2 x - 1) e^{- x} - (- x^{2} - x + 3 - k) e^{- x}$

$f^{″} (x) = (x^{2} - x - 4 + k) e^{- x}$ .

$e^{- x} > 0$ pour tout réel x, donc $f^{″} (x)$ a le signe de $x^{2} - x - 4 + k .$

Ce polynôme du second degré s’annule et change de signe en deux valeurs différentes de x si, et seulement si, son discriminant ∆ est strictement positif.

$Δ = 1 - 4 (- 4 + k) = 17 - 4 k$ ; d’où $Δ > 0 \Leftrightarrow k < \frac{17}{4}$ .

Donc les solutions de l’équation (E) dont la courbe admet exactement deux points d’inflexion sont les fonctions $x \mapsto (x^{2} + 3 x + k) e^{- x}$ avec $k < \frac{17}{4}$ .

Partie C

▶ 1. Déterminer une limite de fonction

à noter

On peut en déduire que l’axe des abscisses est asymptote en + ∞ à la courbe représentative de f.

$f (x) = (x^{2} + 3 x + 2) e^{- x} = \frac{x^{2}}{e^{x}} + 3 \frac{x}{e^{x}} + \frac{2}{e^{x}}$

$\lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ et par croissances comparées, pour tout entier n ≥ 1, $\lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{n}} = + \infty$ , donc $\lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = 0; \lim_{x \to + \infty} \frac{x}{e^{x}} = 0; \lim_{x \to + \infty} \frac{2}{e^{x}} = 0$ .

Par opérations $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ .

▶ 2. a) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout réel x, $f^{'} (x) = (2 x + 3) e^{- x} - (x^{2} + 3 x + 2) e^{- x}$ , soit :

$f^{'} (x) = (- x^{2} - x + 1) e^{- x}$ .

b) Étudier les variations d’une fonction

$e^{- x} > 0$ pour tout x, donc f′(x) a le signe de $- x^{2} - x + 1$ .

Le discriminant de ce trinôme est ∆ = 1 + 4 = 5 ; ses deux racines distinctes sont $x_{1} = \frac{1 - \sqrt[]{5}}{2}$ et $x_{2} = \frac{1 + \sqrt[]{5}}{2}$ .

attention

Ne pas confondre signe et sens de variation. Ici il s’agit de montrer que $f (x) \geq 0$ pour tout $x \in [0; + \infty [.$

On a le tableau suivant :

Tableau de 3 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : x; - ∞; ; x1; ; x2; ; + ∞; Ligne 2 : Signe de f′(x); ; -; 0; +; 0; -; ; Ligne 3 : Variations de f; + ∞; ; ; ; 0;

▶ 3. Justifier le signe d’une fonction

$f (x) = (x^{2} + 3 x + 2) e^{- x}$ et $e^{- x} > 0$ pour tout réel x, donc f(x) a le signe de $x^{2} + 3 x + 2$ . Ce polynôme du second degré a pour racines - 2 et - 1 ; il est positif, entre autres, sur $] - 1; + \infty [$ , donc sur $[0; + \infty [$ .

▶ 4. Calculer une aire

f est continue et positive sur $[0; + \infty [$ , donc sur $[0; α]$ ; donc

$A (α) = \int_{0}^{α} f (x) d x$ ; $A (α) = F (α) - F (0)$ , soit :

$A (α) = (- α^{2} - 5 α - 7) e^{- α} + 7$ .

Équation différentielle et calcul d'aire

Partie A

Partie B

Partie C

Les clés du sujet

Partie A

Partie B

Partie C

Partie A

▶ 1. Reconnaître des fonctions par lecture graphique

▶ 2. Déterminer une équation de tangente

Partie B

▶ 1. Montrer qu’une fonction est solution d’une équation différentielle

▶ 2. Résoudre une équation différentielle

mot clé

▶ 3. Résoudre une équation différentielle

▶ 4. Déterminer une solution particulière d’une équation différentielle

▶ 5. Déterminer des fonctions vérifiant une condition

Partie C

▶ 1. Déterminer une limite de fonction

à noter

▶ 2. a) Calculer la dérivée d’une fonction

b) Étudier les variations d’une fonction

attention

▶ 3. Justifier le signe d’une fonction

▶ 4. Calculer une aire

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