Équations cartésiennes et positions relatives de plans

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace - Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Équations cartésiennes et positions relatives de plans

Géométrie dans l’espace

Corrigé

27

Ens. spécifique

matT_1200_00_53C

Sujet inédit

Exercice • 4 points

L’espace est muni d’un repère orthonormé .

Sur la figure ci-dessous, on a placé les points , , , et .

Le plan P d’équation cartésienne est représenté par ses traces sur les plans de base.


>1.a) Démontrer que les points , et déterminent un plan que l’on notera . (0,5 point)

b) Vérifier que le plan a pour équation . (0,5 point)

>2.a) Montrer que les plans P et sont sécants. On note leur intersection. (0,5 point)

b) Sans justifier, représenter en couleur (ou à défaut en traits pointillés) sur la figure. (0,5 point)

>3. On considère les points et . On note Q le plan parallèle à l’axe et contenant les points F et G.

a) Placer sur la figure les points F et G. Sans justifier, représenter le plan Q par ses traces sur les plans de base, d’une autre couleur (ou à défaut en larges pointillés). (0,5 point)

b) Déterminer les réels et tels que soit une équation du plan Q. (0,75 point)

>4. L’intersection des plans et Q est une droite Δ′.

Sans justifier, représenter la droite , d’une troisième couleur (à défaut en très larges pointillés). (0,75 point)

Durée conseillée : 40 min.

Le thème en jeu

Droites et plans dans l’espace.

Les conseils du correcteur

>  1. a) Démontrez, par exemple, que les vecteurs et ne sont pas colinéaires. → fiches  C39  C40 

b) Il suffit de vérifier que les coordonnées des points C, D et E vérifient l’équation donnée.

>  2. a) Utilisez que le vecteur est un vecteur normal au plan . → fiche  C43

b) Trouvez deux points appartenant à la droite .

>  3. a) Utilisez le fait que le plan Q est parallèle à l’axe .

b) Sachant que les points F et G appartiennent à ce plan, résolvez des équations d’inconnues et .

>  4. Trouvez deux points appartenant à la droite .

Corrigé

>1.a) Démontrer que trois points donnés déterminent un plan

soit  ;

soit .

Les vecteurs et ne sont pas colinéaires, donc
les points , et ne sont pas alignés et
déterminent un plan, noté .

Il n’existe pas de réel tel que .

b) Vérifier qu’une équation cartésienne convient pour un plan

Notons R le plan d’équation et vérifions que les points C, D, E appartiennent à R : et 4 + 0 + 0 = 4 ; et 0 + 4 + 0 = 4 ; et 0 + 0 + 4 = 4.

Ainsi, les plans R et (CDE) ont trois points communs non alignés, donc ils sont confondus et est une équation de (CDE).

>2.a) Démontrer que deux plans sont sécants

Un vecteur normal au plan P d’équation est .

Les vecteurs et ne sont pas colinéaires, donc les plans et P ne sont pas parallèles, et sont donc sécants.

b) Représenter l’intersection de deux plans

Pour dessiner l’intersection de deux plans sécants, qui est une droite, il suffit de déterminer deux points distincts qui appartiennent à ces deux plans, puis de tracer la droite passant par ces deux points. Par exemple : M(2 ; 2 ; 0) et N(0 ; 1 ; 3). 3 × 2 + 0 = 6, donc M ∈ P. 3 × 1 + 3 = 6, donc N ∈ P. 2 + 2 + 0 = 4, donc M ∈ (CDE). 0 + 1 + 3 = 4, donc N ∈ (CDE)

Voir la figure ci-après.

>3.a) Placer des points et représenter un plan

Le plan Q passe par les points et , et est parallèle à l’axe .

Ses traces sur les plans et sont parallèles à l’axe .

Voir la figure ci-après.

b) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

D’après l’énoncé, le plan Q a une équation cartésienne de la forme :

avec .

Or ,

et .

Donc une équation cartésienne du plan Q est .

>4. Représenter l’intersection de deux plans

Pour dessiner l’intersection de deux plans non parallèles, qui est une droite, il suffit de déterminer deux points distincts qui appartiennent à ces deux plans, puis de tracer la droite passant par ces deux points. Par exemple : R(0 ; 3 ; 1) et S(2 ; 0 ; 2).