Équations cartésiennes et positions relatives de plans

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace - Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
&Eacute quations cartésiennes et  positions  relatives de plans

Géométrie dans l’espace

Corrigé

27

Ens. spécifique

matT_1200_00_53C

Sujet inédit

Exercice • 4 points

L’espace est muni d’un repère orthonormé .

Sur la figure ci-dessous, on a placé les points , , , et .

Le plan P d’équation cartésienne est représenté par ses traces sur les plans de base.


>1.a)  Démontrer que les points , et déterminent un plan que l’on notera . (0,5  point)

b)  Vérifier que le plan a pour équation . (0,5  point)

>2.a)  Montrer que les plans P et sont sécants. On note leur intersection. (0,5  point)

b)  Sans justifier, représenter en couleur (ou à défaut en traits pointillés) sur la figure. (0,5  point)

>3.  On considère les points et . On note Q le plan parallèle à l’axe et contenant les points F et G.

a)  Placer sur la figure les points F et G. Sans justifier, représenter le plan Q par ses traces sur les plans de base, d’une autre couleur (ou à défaut en larges pointillés). (0,5  point)

b)  Déterminer les réels et tels que soit une équation du plan Q. (0,75  point)

>4.  L’intersection des plans et Q est une droite &Delta &prime .

Sans justifier, représenter la droite , d’une troisième couleur (à défaut en très larges pointillés). (0,75  point)

Durée conseillée  : 40  min.

Le thème en jeu

Droites et plans dans l’espace.

Les conseils du correcteur

>    1.  a)  Démontrez, par exemple, que les vecteurs et ne sont pas colinéaires. →  fiches    C39    C40 

b)  Il suffit de vérifier que les coordonnées des points C, D et E vérifient l’équation donnée.

>    2.  a)  Utilisez que le vecteur est un vecteur normal au plan . →  fiche    C43

b)  Trouvez deux points appartenant à la droite .

>    3.  a)  Utilisez le fait que le plan Q est parallèle à l’axe .

b)  Sachant que les points F et G appartiennent à ce plan, résolvez des équations d’inconnues et .

>    4.  Trouvez deux points appartenant à la droite .