Équations différentielles

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Équations différentielles

Premier exercice de type Bac – Équation y + ay = 0

Après des violents orages, des eaux de ruissellement contenant 4 % de pesticides se déversent dans un bassin aménagé pour la baignade.

Le système d’évacuation du bassin permet d’y maintenir un volume constant de 30 000 litres.

On admet que le volume de pesticides, en litres, dans ce bassin est une fonction du temps définie par g(t) = f(t) + 1 200, t étant le temps en minutes et f étant une solution de l’équation différentielle (E) : y’ + 5 × 10–3y = 0.

1. Résoudre l’équation différentielle (E).

En déduire l’expression de g(t).

2. On suppose qu’à l’instant t = 0, le volume des pesticides dans l’eau est nul.

Déterminer la fonction g satisfaisant à cette condition.

3. Le corps médical considère que des affections cutanées peuvent survenir dès que le taux de pesticides dans le bassin atteint 2 %. Au bout de combien de minutes ce taux est-il atteint ? (On donnera d’abord le résultat exact puis la valeur approchée arrondie à une minute.)

Corrigé

1. (E) est une équation de la forme y′ + ay = 0, avec a = 5 × 10–3.

t est un temps en minutes, donc t 0.

Les solutions sont donc définies sur [0, + ∞[ par : f(t) = k e–5 × 10–3t, où k est une constante quelconque.

On en déduit que : pour tout t de [0, + ∞[, g(t) = k e–5 × 10–3t + 1 200.

2. g(0) = 0 se traduit par : k e0 + 1 200 = 0, donc : k = – 1 200.

Pour calculer 2 % de 3 000, on multiplie par 0,02.

g(t) = 1 200 e–5 × 10–3t + 1 200.

3. On cherche t tel que g(t) = 30 000 × 0,02 = 600 ; 1 200 e–5 × 10–3t + 1 200 = 600 ;

1 200 e–5 × 10–3t = – 600 ; e–5 × 10–3t = 0,5 ; d’où : ln (e–5 × 10–3t) = ln 0,5 ; – 5 × 10–3t = ln 0,5.

t=ln0,55×103139. Le taux de 2 % est atteint au bout d’environ 139 minutes
(2 heures 19 minutes).

ln ex = x.